Derivadas Parciales

Las derivadas parciales se utilizan en fisica mecanica para determinar los valores de aceleracion, velocidad y distancia.

Ej:

La distancia esta dada por la funcion F(t) = 5t² calcule la velocidad en el segundo 5

Vemos que d' = v; v' = a

En este caso daria F'(t) = 10t En el 5to segundo seria 50
Definición
En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.
Si , las primeras derivadas parciales de respecto de x e y son las funciones definidas como

siempre que el límite existe.Demostración
Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como :

ahora como tenemos la función lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una costante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.

Entonces hacemos aquí lo que hicimos fue fijar el valor de , y al hacer esto tenemos una funciónque depende sólo de .

Derivamos la función

como entonces y cambiamos la expresión anterior,

Entonces tenemos que la derivada de la función cuando fijamos y cambiamos es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x)

Derivadas Parciales
Derivadas parciales de una función de dos variables
En las aplicaciones en que intervienen funciones devarias variables suele presentarse la cuestión de como resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cadavez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.

Notación
Dada susderivadas parciales se denotan por

y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto se denotan por

y

Interpretación Geométrica
Las derivadas parciales de una función de dos variables tienen una interesante interpretación geométrica. Si es la curva intersección de la superficie con el plano .

Por tanto,

da la pendiente de esa curva en el punto . Notar que tanlo la curacomo la recta tangente están en el plano . Análogamente,

da la pendiente de la curva intersección de con el plano en como se ve en la siguiente figura,

Lo que viene a decirnos que los valores de y en el punto dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje x y el eje y.

Orden de las derivadas parciales
El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivadamayor de orden que aparezca en dicha ocasión.

Ejemplo:

1.
2.

Derivadas Parciales de Orden Superior
Tomando la función derivada de una función es posible a veces volver a derivar aquella. Esto es análogo a calcular la segunda derivada de una función de una variable cuando se deriva dos veces con respecto a la misma variable; las derivadas obtenidas se llaman derivadas parciales segundas.-------------------------------------------------
Definición
En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable. 
Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en...