Derivadas Parciales






Analisis Matematico 11. Curso 2009/2010.
Diplomatura en Estad"istica/1ng. T"ec. en 1nf. de Gestion. Universidad de Ja"en


TEMA 3. DIFERENCIACIO' N DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- ABLES





1. Derivadas parciales

Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funci'on de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivaci'onparcial.

DEFINICIO'N 1.1 (DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIO'N DE DOS VARI- ABLES). Si z = f (x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las funciones definidas como
∂z ∂f
=
∂x ∂x
(x, y) = fx(x, y) := l'1m
h→O
f (x + h, y) − f (x, y) ,
h

∂z ∂f
=
∂y ∂y
(x, y) = fy (x, y) := l'1m
h→O
f (x, y + h) − f (x, y) ,
h
siempre y cuando ell'1mite exista.
ÜBSERVACIO'N 1.1. La definici'on indica que para calcular a¡


se considera
y constante derivando con respecto a x y para calcular a¡
se considera x
constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas
usuales de derivaci'on.
EJEMPLO 1.1. 1. Calcular las derivadas parciales de f (x, y) = yx2 +
3x3y4.
2. Dada f (x, y) = xex2 y hallar f

, fy
yevaluarlas en (1, ln(2)).


1.1. Interpretaci"on geom"etrica de las derivadas par- ciales

Si y = yO entonces z = f (x, yO) representa la curva intersecci'on de la superficie z = f (x, y) con el plano y = yO. Por tanto
fx(xO, yO ) = pendiente de la curva interseccion en (xO, yO , f (xO, yO)).






Analogamente, f (xO, y) es la curva intersecci'on de
z = f (x, y) (superficie)
x = xO(plano)
y entonces
fy (xO, yO) = pendiente de la curva intersecci´on en (xO, yO, f (xO, yO )).

Diremos que los valores
8f
8x (xO , yO ),
8f
8y (xO , yO ) denotan las pendientes de
la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente.

EJEMPLO 1.2. Hallar las pendientes en las direcciones de x e y de la superficie dada por f (x, y) = 1 - x2y + xy3 en el punto (1,2,7).

Lasderivadas parciales tambi'en se pueden interpretar como tasas, veloci- dades o ritmos de cambio.

EJEMPLO 1.3. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es T (x, y) = 500 - 0.6x2 - 1.5y2 , donde x e y se miden en metros. En el punto (2, 3) hallar el ritmo de cambio de la temperatura respecto a la distancia recorrida en las direcciones de los ejes X e Y .
EJERCICIO 1.1. Calcular lasderivadas parciales de f (x, y, z, w) = xy+yz+xz .


1.2. Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras... derivadas parciales de una funci'on de varias variables, siempre que tales derivadas existan.
Por ejemplo la funcion z = f (x, y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden:
82f
8 8f
fxx =8x2 = 8x 8x
(Derivar dos veces respecto a x)

82f
8 8f
fxy = 8y8x = 8y 8x
(Derivar respecto a x, luego respecto a y)

82f
8 8f
fyx = 8x8y = 8x 8y
(Derivar respecto a y, luego respecto a x)





82f
8 8f
fyy = 8y2 = 8y 8y
(Derivar dos veces respecto a y)
EJEMPLO 1.4. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) =
3x2 y + xy3 - 2x. Determinar el valorde fx,y (1, 2).
TEOREMA 1.1 (IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS). Si
f (x, y) es tal que fxy y fyx existen y son continuas en un disco abierto D
entonces
fxy (x, y) = fyx(x, y) V(x, y) E D.
EJEMPLO 1.5. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) =
xey + sen(xy). Comprobar que las derivadas parciales mixtas coinciden.


2. Diferenciaci"on de funciones dedos vari- ables
Para una funci'on de una variable f (x) se define la derivada como
f (a + h) - f (a)
f t(a) := l'1m .
h�0 h
Esto quiere decir que para h pequen-o
f (a + h) - f (a)
f t(a) �
h ⇐⇒ f (a + h) � f (a) + f t(a)h
y por tanto la recta tangente es una buena aproximaci'on de la funci'on f
cerca del punto a.
Llamando c(h) = f (a + h)...