Derivadas_y_aplicaciones_de_la_derivadas 1

Derivadas. Teoremas
2º Bachillerato

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir
de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Esquema

Tasa de variación media en un intervalo
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],
contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:

Tm f[a, b] =

f(b) – f(a)
b–a

La tasa devariación media es una medida de la variación que experimenta una
función, en un intervalo, por unidad de variable independiente.

Pendiente positiva

Pendiente negativa

Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo
La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España
entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde
x representa eltiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número
de afiliados expresado en millones.

El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999
f(19) – f(0)
es:

= 0,1241

Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el
número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000
personas por año.

Tasa de variación instantánea
La tasa devariación instantánea TVI(x) o ti(x) , en un punto, es el límite de las tasas
de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más
pequeños:

TVI (x) = ti(x) =

lim
h

0

f (x

h)
h

f ( x)

Derivada de una función en un punto
Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.

f(p+h) – f(p)
lim
h
h o

Si el límite existe y es finito,
la derivada def(x) en x=p es

f(p+h) – f(p)
f '(p) = lim
h
h o

Interpretación geométrica de la derivada

Al hacer que h

0, ocurrirá que

• p + h tiende (se acerca) a p

• Q recorre la curva acercándose a P
• La recta secante a la curva se
convierte en la recta tangente
• La inclinación de la recta secante tiende
a la inclinación de la recta tangente

lim
h

0

f ( p h)
h

f ( p)

f ( p)

Si la función f tienederivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .

Ecuación de la recta tangente

Ecuación de la recta que pasa por un
punto A(a, b) y de pendiente m:
y – b = m (x – a)

t
t

f(a)

Entonces:
• Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

t

a

• Ecuación de la recta tangente:
t y – f(a) = f '(a) (x – a)

Ecuación de la rectanormal

Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:
y – f(p) = m (x – p)

Como la tangente y la normal son
perpendiculares sus pendientes son
inversas y cambiadas de signo.
Entonces:

Pendiente de la tangente: mt = f '(p)
Ecuación de la recta tangente:
y – f(p) = f '(p) (x – a)
Pendiente de la normal:
mn = –1/f '(p)
Ecuación de la normal:
y – f(p) = [–1/f '(p)] (x –a)

Derivadas laterales
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si
f ( x h) f ( x )
existe, dado por f '(a –) = lim
h 0
h
La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,
dado por f '(a+ ) = lim *
h

f (x

h)
h

0

f ( x)

Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y
por la izquierda ylas derivadas laterales coinciden.

f '(a+) = tg α > 0
f '(a–) = tg β < 0
Por ser f '(a+)
f '(a–), f(x) no es
derivable en el punto a.

a

Teorema

Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.
Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto

f ( a h)
lim f (a h)
h

f (a)

f (a)

0

f ( x) es derivable en x = a

0

f (a)

h

f ( a h) f ( a )
h
h 0
h
f ( a h) f (a )
lim
lim h
h 0
h 0
h
f (a) 0 0

lim

lim f (a h)
h

f ( a h)
h

f (a)

f ( x) es continua en x

a

Relación continuidad y derivabilidad
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.

y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto

f'(0+) = lim
h

f(a + h) – f(a)
h
=
lim
=1
h
+
+h
0
h 0

f'(0–) = lim
h

= tgα

f(a + h) – f(a)
–h
=
lim
= –1= tg β
h
–
–...