Derivadas

UNIDAD 4. DERIVADAS

4.1 Concepto de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función

El incremento ∆x es el cambio de la variable x cuando crece o decrece desde x=x0 hasta x=x1. Esdecir, ∆x= x1 - x0, lo cual se puede escribir como x1= x0 + ∆x.

Cuando la variable x experimenta un incremento ∆x desde x=x0 hasta x= x0 + ∆x y la función cambia en un incremento ∆y=f(x0+∆x) –f(x) a partir de y=f(x0), el cociente

∆y∆x=cambio en ycambio en x
Se llama la razón media de cambio de la función en el intervalo entre x=x0 y x= x0 + ∆x

Derivada de una función

La derivadade una función y=f(x) con respecto a x es el límite del cociente del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Si el límite de este cocienteexiste, se establece que la función es diferenciable o que tiene derivada. Lo anterior se representa de la siguiente manera:

Este límite se llama también razón instantánea del cambio de y con respectoa x

Notación
La derivada de y=f(x) con respecto a x se indica por cualquiera de los símbolos
f'x, y' Dxy d[fx]dx dydx
4.2 Interpretación geométrica de la derivadaLa interpretación geométrica de la derivada se muestra en la siguiente grafica:

1.-Observe el gráfico, en el está representado una función y=f(x). Se observan dos puntos (P, Q), la recta PQ es unarecta secante a la curva cuya pendiente es:

2.-Cuando Δx tiende a cero o lo que es lo mismo cuando Q tiende a P, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y lapendiente de la recta tangente será:

Nota: si una función no es continua en x=c, no puede ser derivable en x=c

3.-De esta manera la derivada de una función f en un punto P serepresenta geométricamente por la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de los diferenciales

Un diferencial es una variación...