derivadas

3.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Por ser combinación de funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas son derivables
para todo x (Para coth x y para csc hx , x debe ser no nula).
El siguiente teorema resume las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas:
TEOREMA 4. (Derivada de las funciones hiperbólicas).
i. R.D.27. D x (senh u ( x )) = cosh u ( x ) ⋅ u ' (x )
ii.R.D.28. D x (cosh u ( x )) = senh u ( x ) ⋅ u ' ( x )
iii. R.D.29. D x (tanhu ( x )) = sec h 2 u ( x ) ⋅ u ' ( x )

R.D.30.

D x (coth u ( x )) = − csc h 2 u ( x ) ⋅ u ' ( x )

R.D.31.

D x (sec hu ( x )) = − sec hu ( x ) ⋅ tanhu ( x ) ⋅ u ' ( x )

R.D.32.

D x (csc hu ( x )) = − csc hu ( x ) ⋅ coth u ( x ) ⋅ u ' ( x )

Prueba:
 e u ( x ) + e −u ( x ) 

ii. D x (cosh u ( x ))= D x 


2



(

)

=

1 u(x )
e ⋅ u ' (x ) − e −u ( x ) ⋅ u ' (x )
2

=

1 u(x )
e − e −u ( x ) ⋅ u ' (x )
2

(

)

= senh u ( x ) ⋅ u ' ( x )

iv.



1
−1
D x (sec hu ( x )) = D x 
 cosh u ( x )  = cosh 2 u ( x ) ⋅ senh u (x ) ⋅ u ' ( x )




= − sec hu ( x ) ⋅ tanhu ( x ) ⋅ u ' ( x )

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Y SUS DERIVADASPuesto que la función

senh x =

e x − e−x

es continua y creciente en los reales, entonces
2
existe su inversa (sección 1.2), la cual se denota senh −1 x . En el caso de la función
cosh x es necesario restringir su dominio (intervalo donde sea continua y monótona)
para que exista la función inversa. La función tanhx toma todos sus valores en el
intervalo (− 1,1) y por tanto su inversatiene por dominio a dicho intervalo. Con las
anotaciones anteriores, la definición de las funciones hiperbólicas inversas es la siguiente:
DEFINICIONES:

i.

y = senh −1 x ⇔ x = senh y ; y ∈ R

ii.

y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y ; y ≥ 0

iii.

y = tanh −1 x ⇔ x = tanhy ; y ∈ R

Se deja al lector considerar la definición de las demás funciones hiperbólicas inversas.
Las funcioneshiperbólicas inversas figuran en algunas calculadoras y tablas. Mientras las
funciones hiperbólicas se expresan en términos de exponenciales, las inversas se expresan
mediante logarítmos.
Comencemos por ejemplo con la inversa de senh x .
y = senh −1 x ⇔ x = senh x
x=

e y − e−y

2
e −1
x=
⇔ e 2 y − 2 xe y − 1 = 0
2e y
2y

( )

⇔ ey

2

( )

− 2x e y −1 = 0

(1)

La ecuación(1) corresponde a una ecuación cuadrática en e y y por tanto,

ey =

(

2x ± 4x 2 + 4
= x ± x 2 +1
2

)

Como e y > 0 y x < x 2 + 1 el signo – debe descartarse.

(

Así que: e y = x + x 2 + 1 ⇔ y = ln x + x 2 + 1

)

(

⇔ senh −1 x = ln x + x 2 + 1
Si se quiere por ejemplo, calcular la derivada de
(2) y la R.D.26.

)

senh −1 x , se hace uso de la identidad

De manerasimilar, se pueden expresar las demás funciones hiperbólicas inversas, en
términos de logaritmos, los cuales aparecen en la tabla adjunta, con sus respectivos dominio
y la regla correspondiente de derivación.
Función
senh −1 x
cosh −1 x
tanh −1 x
coth −1 x
sec h −1 x
csc h −1 x

Fórmula

(
ln (x +

)
− 1)

ln x + x + 1
2

x2

1 1+ x 
ln

2 1− x 
1  x +1
ln
2  x −1 
1+ 1− x 2 

ln


x


1
1 
ln + 1 + 2 
x
x 



Derivada
1
x 2 +1
1
x 2 −1
1
1− x 2
1
1− x 2
−1

Dominio
Eje x
x ≥1

x 1
0 < x ≤1

x 1− x 2
−1

x≠0

x 1+ x 2

La Regla de L’Hopital

En la sección 2.2. se ilustró con ejemplos el tratamiento de algunos límites que presentaban
0 ∞
las formas indeterminadas:
,
y (∞ − ∞ ) .
0 ∞Otras formas indeterminadas son: 0 0 , ∞ 0 , 0.∞, 1∞ , ∞ − ∞ .

En esta sección, se enuncia, sin demostrar un teorema, conocido como LA REGLA DE
L’HOPITAL, (descubierta en 1694 por el matemático suizo John Berroulli, pero los
derechos del descubrimiento fueron adquiridos por el marqués de L’Hopital)* que permite
0
∞
calcular límites que presentan la forma
ó
y se verá como es posible...