derivadas

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3. APLICACIONES DE LA DERIVADA
3.1. MOVIMIENTO RECTILINEO
Las muchas aplicaciones que tiene la derivada serán estudiadas en esta sección, entre ellas
consideraremos la aplicación física: “el movimiento de una partícula sobre una recta”. Este
movimiento se le llama “movimiento rectilíneo”, en el que se elige arbitrariamente un sentido
como positivo (+) en la recta y el sentido negativoque sería el opuesto al sentido positivo
elegido.
Supongamos que una partícula se mueve en una recta horizontal, cuyo sentido ó “dirección
positiva es hacia la derecha” y el “sentido negativo hacia la izquierda”. Seleccionamos algún punto
sobre la recta y lo denotamos “0”. Sea “𝑓(𝑡) la función que determina la distancia dirigida a partir
del punto 0 en cualquier tiempo particular “𝑡” de lapartícula en estudio. La distancia “𝑠” dirigida
desde 0 hasta la partícula la medimos en metros (m) y el tiempo “𝑡” en segundos. Para determinar
la distancia desde el punto 0 hasta la partícula en un tiempo particular “𝑡” denotamos:
𝑠 = 𝑓(𝑡)
Ejemplo: Sea 𝑠 = 𝑡 2 + 2𝑡 − 3 la ecuación del movimiento de una partícula en cualquier tiempo “𝑡”.
Cuando 𝑡 = 0, 𝑠 = −3, la partícula se encuentra 3 m a laizquierda de “0”
Cuando 𝑡 = 1, 𝑠 = 0, quiere decir que la partícula está en “0” al primer segundo
Cuando 𝑡 = 2, 𝑠 = 5, la partícula se encuentra 5 m a la derecha de “0” a los 2 segundos
Cuando 𝑡 = 3, 𝑠 = 12, la partícula se encuentra 12 m a la derecha de “0” a los 3 segundos
Una descripción gráfica para este movimiento lo presentamos en la siguiente figura

Entre el tiempo 𝑡 = 1 y 𝑡 = 3, lapartícula se mueve desde el punto “𝑠 = 0” hasta el punto “𝑠 =
12”, es decir en 2 segundos el cambio en la distancia es de 12 m. La “velocidad promedio” de la
partícula es la “razón de cambio en la distancia dirigida” desde un punto fijo al “cambio en el
tiempo”, entonces para nuestra partícula para ese primer análisis la velocidad promedio es
12
𝑚
𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 2 = 6 𝑠 . Para 𝑡 = 0 y 𝑡 = 2, lapartícula se mueve desde el punto “𝑠 = −3” hasta el
Profesor Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá

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punto “𝑠 = 5”, entonces la “razón de cambio en la distancia dirigida es de 8m” en 2 segundos, luego
8
𝑚
la velocidad promedio es 𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 2 = 4 𝑠 .
En este ejemplo observamos que la “velocidad promedio” no es constante por lo que no nos brinda
información sobrela velocidad en un instante específico, para ello utilizaremos el concepto la
“velocidad instantánea”
 DEFINICIÓN (VELOCIDAD INSTANTÁNEA): Si 𝑓 es una función definida por la ecuación 𝑠 =
𝑓(𝑡), y una partícula se desplaza a lo largo de una recta, tal que “𝑠” es el número de unidades de
la distancia dirigida de la partícula desde un punto fijo sobre la recta en “𝑡” unidades de tiempo,
entoncesla “velocidad instantánea” de la partícula a las “𝑡” unidades de tiempo es “𝑣”
unidades de velocidad, donde

𝑣 = 𝑓´( 𝑡) ↔ 𝑣 =

𝑑𝑠
𝑑𝑡

La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, dependiendo si la partícula se desplaza en
el sentido positivo o negativo. Cuando la velocidad instantánea es “0” la partícula está en reposo.
La rapidez de una partícula en cualquier tiempo “𝑡” esel valor absoluto de la velocidad
instantánea | 𝑣(𝑡)|, por lo que la rapidez es un número no negativo. Esta rapidez nos indica cuán
rápido se mueve la partícula pero no nos dice en qué sentido se mueve.
En Física la tasa de variación ó razón de cambio instantánea de la velocidad se le llama
“aceleración instantánea”. Si una partícula se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la
ecuaciónde movimiento 𝑠 = 𝑓(𝑡), donde a los “𝑡” segundos la velocidad instantánea es “𝑣” metros
por segundos y la aceleración instantánea es “𝑎” metros por segundo por segundo, entonces “𝑎” es
la primera derivada de “𝑣” con respecto a “𝑡” o su equivalente la segunda derivada de “𝑠” con
respecto a “𝑡”:

𝑑𝑠
𝑑𝑣
𝑑2 𝑠
𝑣 = 𝑓´( 𝑡) ↔ 𝑣 =
↔ 𝑎=
↔ 𝑎= 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Cuando “𝑎 > 0” “𝑣” es creciente y...