derivadas

Cálculo

4.

Derivada de una función

Derivada de una función

4.1 Incremento de una variable
¿Cómo varía una función cuando cambia el valor de su variable independiente?
Si la variable independiente x con un valor inicial x1 se le da un valor final x2 a la diferencia
x2 - x1
que puede aumentar o disminuir, se le llama incremento de la variable
independiente x y se expresa usando laletra griega llamada delta (Δ) que se antepone a
la variable:

Δx = x2 - x1
En consecuencia de lo anterior, la función f(x) también experimenta un aumento o una
disminución en su valor Δy = y 2 − y 1 el cual se le llama incremento de la variable
dependiente o f(x) y se denota por Δy

Δy = f(x2)- f(x1)
Ejemplos:
1) Dada la función f ( x) = 3x − 4 , encuentra:
a)El incremento de lavariable independiente Δx en el intervalo desde x = 4 hasta x = 7
Solución:
Δx = x2 - x1
Δx = 7 – 4
Δx = 3
b)El incremento de la función Δy
Solución:
Δy = f(x2)- f(x1)
Δy = f(7)- f(4)
Encontramos f(7) = 3(7) - 4
f(4) = 3(4) – 4
f(7) = 21 – 4
f(4) = 12 - 4
f(7) = 17
f(4) = 8
Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación Δy
Δy = 17- 8
Δy = 9

67

Unidad dos

Cálculo

c)Elincremento de la función Δy en el intervalo desde x hasta x + Δx
Solución:
Δy = f(x + Δx )- f(x)
Encontramos f(x + Δx) = 3(x + Δx) - 4
f(x + Δx) = 3x + 3Δx – 4

f(x) = 3x - 4

Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación Δy
Δy = 3x + 3Δx – 4 – (3x – 4)
Δy = 3x + 3Δx – 4 – 3x + 4
Δy = 3Δx
2) Dada la función f ( x) = 2 x 2 + 4 x − 5 , encuentra:
a)El incremento de la variableindependiente Δx en el intervalo desde x = -1 hasta x = 3
Solución:
Δx = x2 - x1
Δx = 3 –(-1)
Δx = 3+1
Δx = 4
b)El incremento de la función Δy
Solución:
Δy = f(x2)- f(x1)
Δy = f(3)- f(-1)
Encontramos f(3) = 2(3)2 + 4(3) - 5 f(-1) = 2(-1)2 + 4(-1)-5
f(3) = 2(9) +12 - 5
f(-1) = 2(1) – 4 - 5
f(3) = 18 + 12 – 5
f(-1) = 2 – 4 - 5
f(3) = 25
f(4) = -7
Sustituimos los valores obtenidos en laecuación Δy
Δy = 25 - (-7)
Δy = 25 + 7
Δy = 32
c)El incremento de la función Δy en el intervalo desde x hasta x + Δx
Solución:
Δy = f(x + Δx )- f(x) encontramos
f(x + Δx) = 2(x + Δx)2 + 4(x + Δx )- 5
f(x) = 2x2+ 4x - 5
2
2
f(x + Δx) = 2(x + 2xΔx + (Δx) ) + 4(x + Δx )- 5
f(x + Δx) = 2x2+ 4xΔx + 2(Δx)2 + 4x + 4Δx - 5
Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación Δy
Δy = 2x2+ 4xΔx + 2(Δx)2+ 4x + 4Δx – 5 –[2x2 + 4x – 5]
Δy = 2x2+ 4xΔx + 2(Δx)2 + 4x + 4Δx – 5 – 2x2 – 4x + 5
Δy = 4xΔx + 2(Δx)2 + 4Δx

68

Cálculo

Derivada de una función

EJERCICIO 4-1
INSTRUCCIONES.- Dadas las siguientes funciones encuentra lo que se te pide.
1) Dada la función f ( x) = x − 7 , encuentra:
a)El incremento de la variable independiente Δx en el intervalo desde x = 2 hasta x = 5

b)Elincremento de la función Δy

c)El incremento de la función Δy en el intervalo desde x hasta x + Δx

2) Dada la función f ( x) = −3 x + 10 , encuentra:
a)El incremento de la variable independiente Δx en el intervalo desde x = 4 hasta x = 9

b)El incremento de la función Δy

c)El incremento de la función Δy en el intervalo desde x hasta x + Δx

69

Unidad dos

Cálculo

3) Dada lafunción f ( x) = x 2 − 4 x + 6 , encuentra:
a)El incremento de la variable independiente Δx en el intervalo desde x = 4 hasta x =7

b)El incremento de la función Δy

c)El incremento de la función Δy en el intervalo desde x hasta x + Δx

4) Dada la función f ( x) = 3 x 2 + 5 x − 8 , encuentra:
a)El incremento de la variable independiente Δx en el intervalo desde x =-2 hasta x =5

b)Elincremento de la función Δy

c)El incremento de la función Δy en el intervalo desde x hasta x + Δx

70

Cálculo

Derivada de una función

5) Dada la función f ( x) = x 2 − 9 , encuentra:
a)El incremento de la variable independiente Δx en el intervalo desde x =2 hasta x =7

b)El incremento de la función Δy

c)El incremento de la función Δy en el intervalo desde x hasta x + Δx

6) Dada...