Derivadas

ASIGNATURA: CALCULO I


UNIDAD 2: DERIVADAS


CONTENIDO 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS



GUIA DE EJERCICIOS: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS


1) Establecer la recta tangente si [pic]en el punto P(-2,-16).

Solución:
[pic]

la ecuación de la recta que pasa por un punto está dada por
[pic]




Establecer la recta normal si [pic] en el punto P(2,4).

Solución:[pic]
evaluando esta derivada en el punto dado se obtiene la pendiente
[pic]
la ecuación de la recta perpendicular o normal, que pasa por un punto es
[pic]
3) Determinar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva [pic]en el punto P(2,3).

Solución:
derivamos la función dada
[pic]
evaluamos para x = 2, la primera derivada
[pic] [pic]
[pic]
la ecuación de larecta tangente, que pasa por el punto (2,3) corresponde a
[pic]
la ecuación de la recta normal, que pasa por el punto (2,3) corresponde a
[pic]






4) Determine la recta tangente si [pic] en el punto P(2,2).

Solución:
derivamos la función dada
[pic]
evaluamos para x = 2 [pic]

determinamos la ecuación de la recta tangente, por la fórmula de recta que pasas por un punto
[pic]esta es la ecuación de la recta tangente.




5) Determinar si existen, para la función [pic]
a) puntos máximo y/o mínimo
b) punto de inflexión


Solución:

a) Determinamos la derivada de la función dada
[pic]

los valores de la ecuación de segundo grado son [pic]
y representan los valores críticos de la función

calculamos y analizamos la segunda derivada[pic][pic]

evaluamos la función original para determinar los puntos extremos

[pic]



b) evaluamos la función para determinar la ordenada del punto de inflexión


[pic]







6) Determinar si existen, para la función [pic]
c) puntos máximo y/o mínimo
d) punto de inflexión


Solución:

a) Determinamos la derivada de la función dada


[pic]

los valores dela ecuación de segundo grado son [pic]
y representan los valores críticos de la función

calculamos y analizamos la segunda derivada


[pic]
[pic]evaluamos la función original para determinar los puntos extremos
[pic]
[pic]

b) evaluamos la función para determinar la ordenada del punto de inflexión


[pic]


el punto de inflexión es [pic]


7) Determinar siexisten, para la función [pic]
a) puntos de máximo y/o mínimo.
b) punto de inflexión

Solución:

a) determinamos la derivada de la función dada
[pic]

los valores de la ecuación de segundo grado son [pic]
y representan los valores críticos de la función

calculamos y analizamos la segunda derivada

[pic][pic]

para determinar los puntos extremos evaluamos la funciónoriginal






b) evaluamos la función original para determinar la ordenada del punto de inflexión


[pic]

el punto de inflexión es [pic]



8) Determinar si existen, para la función [pic]
e) puntos máximo y/o mínimo
f) punto de inflexión


Solución:

c) Determinamos la derivada de la función dada


[pic]

los valores de la ecuación de segundo grado son[pic]
y representan los valores críticos de la función

calculamos y analizamos la segunda derivada


[pic]
[pic]evaluamos la función original para determinar los puntos extremos
[pic]
[pic]


b) evaluamos la función para determinar la ordenada del punto de inflexión


[pic]

el punto de inflexión es [pic]




9) El costo total de producción de x unidadesmensuales de un producto es de [pic]. ¿Para cuántas unidades de producción se minimizan los costos?.

Solución:

sea la función de costo total de producción

[pic]

determinamos la primera derivada

[pic]

resolviendo la ecuación de segundo grado

[pic]


calculamos la segunda derivada para examinar los puntos extremos

[pic]

es decir, 35 unidades minimizan los costos....