DERIVADAS

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Matemáticas aplicadas a las CCSS 2 - Derivadas
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¤

Tabla de Derivadas

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Función

Derivada

Función

Derivada

y=k

y =0

−

−

y=x

y =1

−

−

y = x2

y = 2x

y = f ( x )2

y = 2 f (x) f (x)

y = xn

y = nx n−1

y = f ( x )n

y = n f ( x ) n −1 f ( x )

1
x
1
y= n
x
√
y= x

1
f (x)
1
y=
f ( x )n

f (x)
f ( x )2
n f(x)
y =−
f ( x ) n +1
f (x)
y =
2 f (x)
f (x)
y = 3
3 f ( x )2
f (x)
y = n
n f ( x ) n −1

y = ax

1
x2
−n
y = n +1
x
1
y = √
2 x
1
y = √
3
3 x2
1
y = √
n
n x n −1
y = a x ln a

y = ex

y = ex

y=

y=

√
3

x

y=

√
n

x

y = loga x
y = ln x

y =−

1
x ln a
1
y =
x

y =

y=

y=

f (x)

y=

3

f (x)

y=

n

f (x)

y=−

y = a f (x)

y = a f ( x) ln a f ( x )

y = e f (x)

y = e f (x) f ( x )

y = loga f ( x )
y = ln f ( x )

f (x)
f ( x ) ln a
f (x)
y =
f (x)

y =

y = sen x

y = cos x

y = sen f ( x )

y = f ( x ) cos f ( x )

y = cos x

y = − sen x

y = cos f ( x )

y = − f ( x ) sen f ( x )

1
cos2 x
−1
y = cotg x y = −1 − cotg2 x =
sen2 x
1
y = arc sen x
y = √
1 −x2
−1
y = arccos x
y = √
1 − x2
1
y = arc tg x
y =
1 + x2
y = tg x

y = 1 + tg2 x =

f (x)
cos2 f ( x )
− f (x)
y = cotg f ( x ) y = (−1 − cotg2 f ( x )) f ( x ) =
sen2 f ( x )
f (x)
y = arc sen f ( x )
y =
1 − f ( x )2
− f (x)
y = arccos f ( x )
y =
1 − f ( x )2
f (x)
y = arc tg f ( x )
y =
1 + f ( x )2
y = tg f ( x )

y = (1 + tg2 f ( x )) f ( x ) =

2Matemáticas aplicadas a las CCSS 2 - Derivadas
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Propiedades de la derivadas

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Supongamos que f ( x ) y g( x ) son funciones derivables y sea k un número real. Entonces se cumplen
las siguientes propiedades:
1. La derivada de un número real por una función es el número por la derivada de la función:
y = k f ( x ) =⇒ y = k f ( x )
2. La derivada de una suma o de una diferencia es lasuma o la diferencia de las derivadas:
y = f ( x ) + g( x ) =⇒ y = f ( x ) + g ( x )
y = f ( x ) − g( x ) =⇒ y = f ( x ) − g ( x )
3. La derivada de un producto es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin
derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda:
y = f ( x ) g( x ) =⇒ y = f ( x ) g( x ) + f ( x ) g ( x )
4. La derivada de un cociente esigual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar,
menos la primera función sin derivar por la derivada de la segunda; todo ello dividido por la
segunda función al cuadrado:
y=

f (x)
f ( x ) g( x ) − f ( x ) g ( x )
=⇒ y =
g( x )
g ( x )2

Matemáticas aplicadas a las CCSS 2 - Derivadas

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Algunos ejemplos de cálculo de derivadas
• y=
• y=

√

3x =⇒ y =√
5

√

3

3x + 1 =⇒ y =

3
5

5

(3x + 1)4

• y=

2
1
−6
−12
. Obsérvese que la función se puede escribir así: y = 2 6 . Entonces: y = 2 7 = 7
6
x
x
x
x

• y=

25x + 5 − 25x + 5
10
5x − 1
5(5x + 1) − (5x − 1)5
=
=
=⇒ y =
2
2
5x + 1
(5x + 1)
(5x + 1)
(5x + 1)2

• y=

2
0( x − 1)3 − 2 · 3( x − 1)2
−6( x − 1)2
−6
=⇒ y =
=
=
( x − 1)3
( x − 1)6
(x − 1)6
( x − 1)4

√
5x7
6x2 · x5
5x7
6x7 + 5x7
11x7
11x7 x5
√
• y = x3 x5 =⇒ y = 3x2 x5 + √ = √
=
+ √ =
= √ =
2x5
2 x5
2 x5
2 x5
2 x5
2 x5
√
√
√
11x2 x5
11x2 · x2 x
11x4 x
=
=
2
2
2
√

√

Esta derivada se podría haber hecho de otras dos formas distintas:
√
Obsérvese que la función se puede escribir así: y = x3 x5 = x3 · x5/2 = x11/2 . Entonces
√
11 9/2
11√ 9
11 4 √
11x4 x
y =
x
=
x x=
x =
2
2
2
2
La otra forma consiste en escribir la función introduciendo x3 dentro del radical:
√
√
√
√
√
11x10
11x10 x11
11x15 x
11x4 x
3
5 =
11 . Entonces y = √
x
y=x x
=
=
=
2
2x11
2x11
2 x11
2x
√
3
4
1
f (x)
1
• y = √ . Utilizando que la derivada de y =
es y = −
, se tiene que y = − 3 x 2 =
3
√
f (x)
f ( x )2
3...