Derivadas

Límites y Reglas de derivación
Suponemos que u y v son funciones derivables de x y que du = u′ , dv = v′

8)

dx
′
⎛ u ⎞ u´v − uv´
⎜ ⎟ =
v2
⎝v⎠

9)

(un)´ = nun − 1·u´.

10)
11)
12)(u(v))´ = u´(v)v´.
(sen u)´= (cos u)u´.
(cos u)´ = (– sen u)u´.

3) lim (cf)(x) = c lim f(x) = cl.

13)

(tan u)´ = (sec2 u)u´.

4) lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x) =l + m.

14)(cot u)´ = (– csc2 u)u´,

5) lim (fg)(x) = lim f (x) lim g(x)= lm .

15)

(sec u )´ = (sec u tan u)u´,

16)

(csc u)´ = (– csc u cot u)u´.

17)

(ln u)´ =

dx

Propiedades de loslímites.
Si
f
y
g son funciones, tales que
lim f ( x) = l y lim g ( x) = m , entonces:
x→a

x→a

1) lim c = c,
x →a

2) lim x = a.
x →a
x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

x →ax →a

lim f ( x )

⎛f⎞
f ( x)
l
=
,
= x →a
6) lim⎜ ⎟ (x)= lim
x →a ⎝ g ⎠
x →a g ( x)
lim g ( x )
m
x →a

si m ≠ 0.
7) lim (f(x))n= (lim f(x))n =ln.
x →a

x →a

8) lim n f (x ) = n lim f ( x) = n l .
x →a

x→a

Teorema del Emparedado
Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x∈I y si
lim f ( x) = lim h( x) = l , entonces lim g ( x) = l
x →a

x →a

u′
,
u

19)

u′,
u ln a
(eu)´ = eu u´.

20)

(au)´ = (au ln a) u´.

21)

(uv)´ = uv(v´ ln u +

22)

(sen–1u)´ =

23)

(cos–1u)´ = −

18)

( log a u)´ =

x →a

Regla de L’Hopital
9) Sesupone que f y g son funciones derivables
en x = a, y lim g ′( x) ≠ 0 .
x→a

Si lim f ( x) = 0 y lim g ( x) = 0 , ó
x →a

x →a

24)

Si lim f ( x) = ±∞ y lim g ( x) = ±∞ ,
x →a

x →a

f( x)
f ′( x)
lim
= lim
.
x →a g ( x)
x → a g ′( x )
Reglas de Derivación
1)
c´ = 0.
2)
x´=1.
3)
(xn)´= n xn– 1.
4)
(cu)´ = cu´.
5)
(u ± v)´ = u´ ± v´.
6)
(uv)´ = u´v + uv´.
′
u´⎛1⎞
7)
⎜ ⎟ =− 2
u
⎝u⎠

Elaboró Mat. Gustavo Ortiz González

( u )′ = 2u′u

25)
26)

u′
1− u2
u′

u′v
).
u
.

1− u2

.

u′
.
1+ u2
u′
(cot–1u)´ = −
.
1+ u2
u′...