Derivadas

7

APLICACIONES DE LA DERIVADA

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Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada
I

Analiza la curva siguiente:

f decrece f' < 0

f crece f' > 0

f decrece f' < 0

f crece f' > 0

f decrece f' < 0

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Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada
I

Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:
D A B f convexa fcóncava C E F

G

f ' decreciente

f ' creciente

f '' < 0

f '' > 0

CD → f convexa → f ' decreciente → f" < 0 DE → f cóncava → f ' creciente → f" > 0 EF → f convexa → f ' decreciente → f" < 0 FG → f cóncava → f ' creciente → f" > 0
Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

1

I

Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: • La función está definidaen [0, 7]. • Solo toma valores positivos. • Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1). • En el intervalo (1, 2), la función es convexa. • En el intervalo (2, 4), f '' > 0. • En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente. • En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

1

0

1

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3 2 1. Halla las rectas tangentes a la curva y = 5x + 7x – 16x en los puntos deabsx–2 cisas 0, 1, 3.

Calculamos la derivada de la función:
2 3 2 3 2 y' = (15x + 14x – 16)(x – 2) – (5x + 7x – 16x) = 10x – 23x – 28x + 32 (x – 2)2 (x – 2)2

Ordenadas de los puntos: y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150 • Recta tangente en (0, 0): y ' (0) = 8 y = 8x • Recta tangente en (1, 4): y ' (1) = –9 y = 4 – 9(x – 1) = –9x + 13 • Recta tangente en (3, 150): y ' (3) = 11 y = 150 + 11(x –3) = 11x + 117 2. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x 3 – 4x + 3 que sean paralelas a la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. y = x 3 – 4x + 3

Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

2

Calculamos la derivada: y' = 3x 2 – 4
o o Si son paralelas a la bisectriz del 2- y 4- cuadrante, la pendiente es –1. Por tanto:

3x 2 – 4 = –1

→

3x 2 = 3

→x2 = 1

→

x = ±1

y(–1) = 6 y(1) = 0 Recta tangente en (–1, 6): y = 6 – (x + 1) = –x + 5 Recta tangente en (1, 0): y = 0 – (x – 1) = –x + 1

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1. Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece.

y' = 3x 2 – 6x – 9 = 3(x 2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1) a) x < –1 → y' > 0 → f es creciente en (–∞, –1) x > 3 → y' > 0 → f es creciente en (3, +∞) b)–1 < x < 3 → y' < 0 → f es decreciente en (–1, 3)

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2. Comprueba que la función y = x 3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares, en x = 0 y en x = 6. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada.
2 2 3 2 y' = 3x (x – 2) – 2(x – 2)x = x (x – 2) (3(x – 2) – 2x) = 4 (x – 2) (x – 2)4 2 2 = x (3x – 6 – 2x) = x (x – 6) 3 (x – 2) (x – 2)3

y' = 0 → x 2(x – 6) = 0

x=0 x=6

f ' (–0,01) > 0   En x = 0 hay un punto de inflexión. f ' (0,01) > 0  f ' (5,99) < 0   En x = 6 hay un mínimo relativo f ' (6,01) > 0 
Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

3

f ' (–0,01) > 0   En x = 0 hay un punto de inflexión. f ' (0,01) > 0  f ' (5,99) < 0   En x = 6 hay un mínimo relativo f ' (6,01) > 0  3. a) Halla todos los puntos singulares(abscisa y ordenada) de la función y = –3x 4 + 4x 3. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9. a) y' = –12x 3 + 12x 2 = 12x 2 (–x + 1) x=0 x=1 → → Punto (0, 0)   Dos puntos singulares. Punto (1, 1) 

y' = 0

Los dos puntos están en el intervalo [–1; 1,5], donde la función es derivable. Además, f (–1) = –7 y f(1,5) = –1,7. • En (0, 0) hay un punto de inflexión. • En (1, 1) hay un máximo relativo.

1 1

b) y' = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24 = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3) x = –1 x = –2 x = –3 → → → Punto (–1, 0)   Punto (–2, 1)  Tres puntos singulares.  Punto (–3, 0) 
9

y' = 0

Los tres puntos están en el mismo intervalo [– 4, 0], donde la función es derivable. Además, f (–4) = f (0) = 9. • Hay un...