Derivadas

DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL


Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá

(jmartinezbos@uoc.edu)


ESQUEMA DE CONTENIDOS




Crecimiento de una función





Definición







Interpretación geométrica y sentido físico

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN en un punto




Función derivadaCálculo de la derivada de funciones





Regla de la cadena



Derivación implítica




Regla de l’Hôpital para el cálculo de límites indeterminados




Derivación múltiple


INTRODUCCIÓN


La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa devariación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. De hecho, una variación en un instante de tiempo determinado o para un valor concreto de la variable de derivación se puedeentender como una variación media cuando el intervalo usado para la obtención de dicha media tiende a cero. Así la derivada es el límite de la tasa de variación media alrededor de un valor de la variable cuando el intervalo de medición tiene a cero.

Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquierfunción. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Este Mathblock está dedicado precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitasasí como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función. Una de las aplicaciones de las derivadas es la Regla de l’Hôpital que permite resolver límites indeterminados mediante derivación.



OBJETIVOS DOCENTES

 Introducir el concepto de derivada, proporcionar su interpretación gráfica e ilustrar su interpretación física. Saber distinguir en qué puntos una función esderivable y en qué puntos no admite derivada.

 Familiarizarse con el cálculo automático de derivadas, con la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, con la derivación múltiple y —finalmente— con la derivación implícita.

 Adquirir destreza en el cálculo de límites funcionales mediante la regla de l’Hôpital basada en la derivación de funciones.




CONOCIMIENTOSPREVIOS


Dado que la derivación de una función es una operación consistente en el cálculo de un límite en un punto donde la función es continua, es recomendable —previamente a la lectura de este Mathblock— el haber realizado un estudio detallado de los siguientes temas:

 Funciones reales de variable real.
 Límites de funciones.
 Continuidad en una dimensión.

Asimismotambién es muy aconsejable que se tenga un conocimiento mínimo del programa Mathcad, que incluya como calcular límites de funciones.

Por lo tanto, recomendamos que trabajéis los Mathblocks: “Uso básico del Mathcad en Análisis (I): cálculo simbólico y analítico”, “Funciones de una variable”, “Límites de funciones” y “Continuidad en una dimensión”, antes de empezar con éste. Después de haber trabajadoeste Mathblock podéis abordar el de “Aplicaciones de las derivadas”.


CONCEPTOS FUNDAMENTALES



 La derivada de una función en un punto: definición


Decimos que una función

f ( x)

es derivable en un punto a si existe el siguiente límite:

lim f (a h) −f (a)

h→0 h


De hecho esto equivale a que exista este otro límite:

lim f ( x)...