Derivadas

GUIA - CALCULO II
DERIVADAS PARCIALES
PRIMER SEM.2002.


I.- EJERCICIOS RESUELTOS.

1.- Calcular [pic] si :

a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

Solución:

a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

2.- Calcular [pic] si:

a) [pic]
b) [pic]

Solución:

a) [pic]

[pic]
[pic]
[pic]
b) [pic]
[pic][pic]
[pic]
3.- REGLA DE LA CADENA.

a) Sea [pic]con[pic]. Calcular [pic].
b) Sea [pic]. Determinar [pic].

Solución:

a) [pic]

[pic]

b) [pic]

4.- DERIVADAS IMPLICITAS.

a) Sea [pic]. Calcular [pic].
b) Considere la superficie definida implícitamente por: [pic]. (*) Demuestre que:

[pic].

Solución:a) Derivando con respecto a x : [pic].

[pic]

Derivando con respecto a y : [pic].

[pic]

b) Derivando con respecto a x se llega a:

[pic].
Evaluando ( 0, 1 ) en ( * ) [pic]
Luego:[pic].

5.- DERIVADAS DIRECCIONALES.

a) Si [pic], encuentre la derivada direccional en el punto [pic]en la dirección delángulo[pic].
b) Si [pic], encontrar el gradiente de f en el punto ( 4, 3 ). También encontrar la razón de cambio de [pic]en la dirección [pic] en ( 4, 3 ).
c) Dada [pic], encontrar el valor máximo de [pic]en el punto donde [pic].
d) Hallar la derivada direccional de la función [pic]en el punto P ( 1, 0, 0 ) en la dirección de Q ( 4, 3, 1 ).

Solución:

a) [pic].
Si[pic].Si [pic]
[pic].

b) [pic]
La razón de cambio de [pic]en la dirección[pic] en ( 4, 3 ) es [pic], donde v es el vector unitario [pic].


[pic]

c) [pic]. Luego el valor máximo de [pic]en el punto ( 1, -2 ) es [pic].
d) [pic]
[pic].


Sea [pic]. Además [pic]. No es unitario, pero [pic] si lo es.
Luego [pic].

6.-APLICACIONES.

a) Si [pic]. Determine si se cumple:

[pic].
b) Si[pic], entonces[pic].
c) Una lechería produce leche entera y descremada en cantidades x e y galones respectivamente. Suponga que el precio de leche entera es [pic] y el de la leche descremada es [pic]. Si [pic]es la función de costos conjuntos de los productos.¿Cuáles deberán ser x e y paramaximizar las utilidades?¿Cuál es la utilidad máxima?
d) Halle la combinación de bienes x e y que minimizarán los costos para que un producto enfrente la siguiente función de costo y las restricciones de cuotas de producción:

[pic], sujeta a [pic]

Solución:

a) [pic]
[pic]
[pic]

b) [pic]. Reemplazando:

[pic]

c)Utilidad = Ingreso – Costo. [pic].
[pic]
[pic]

[pic]. Punto Crítico ( 20, 20 ).
Hessiano: [pic].
[pic] y como [pic]
[pic]hay un máximo en ( 20, 20 ).
La utilidad se maximiza si x = 20 e y = 20, y la máxima utilidad es :

[pic].

d) Nos formamos una nueva función : [pic].[pic].

[pic]
Luego:
[pic]. El punto crítico es ( 38, 26 ) y [pic].

[pic], y como [pic] en (38, 26)
hay un mínimo. [pic] Los bienes que minimizan el costo es x = 38 e y = 26.













II.- EJERCICIOS PROPUESTOS.



1.- Calcular [pic] para las siguientes funciones que se indican:

a) [pic] b) [pic] c) [pic]

d) [pic] e) [pic] f) [pic]

g) [pic] h) [pic] i)[pic]

j) [pic]


2.- Calcular las cuatro derivadas parciales de orden dos [pic].

a) [pic] b) [pic]

c) [pic] d) [pic]

e) [pic]


3.- Evaluar las derivadas parciales de las siguientes funciones en los puntos dados.
( [pic]).

a) [pic] en ( 2, -2 ).
b) [pic] en ( 3, 0 ).
c) [pic] en ( 3, -1 ).
d) [pic] en ( 0, 1 ).



4.- Hallar las...