Derivadas

En primer lugar ambos conceptos están íntimamente relacionados y no es raro que en algún caso se use uo u otro con el mismo significado.

Intentaré darte una pequeña explicación de la diferencia, particularizada en funciones de variable real. A partir de ahí ve si quieres matizando tus dudas.

Si tenemos una función y fijamos un punto .

- La derivada de en es la pendiente (un númeroreal por tanto) de la recta tagente a la gráfica de la función en tal punto. Indica la razón de crecimiento de los valores de la función con respecto a la variable , cerca del punto .

- La diferencial es la función lineal (la recta) que "más se parece a la función de partida en puntos muy próximos a ". Por tanto es una nueva función:



Es la función que representa la recta tangente en elpunto y está intimamente relacionada con la derivada ya que:



Por ejemplo si la función es .

- La derivada en es .

- La diferencia en es la aplicación, la función:



El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es laderivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el conceptobásico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivadainvolucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
Lainversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Una función de una variable es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c,puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto c es continua en c, pero no toda función continua en c es diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de larecta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representauna pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos \scriptstyle (x, f(x))\, y \scriptstyle (x+h, f(x+h))\, es
f(x+h)-f(x)\over h
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
f'(x)=\lim_{h\to...