DERIVADAS
a
o
Farith J. Brice˜ o N.
n
Objetivos a cubrir
C´digo : MAT-CDI.8
o
• Reglas de derivaci´n. Derivada de la suma, producto y cociente de funciones.
o
• Reglas de derivaci´n. Regla de la cadena.
o
• Derivadas de orden superior. Derivaci´n impl´
o
ıcita.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Derive la siguiente funci´n
o
f(x) =
√
3
x+ √
x
Soluci´n : Tenemos
o
√
f (x) =
3
x+ √
x
√
= ( x) +
1 1 −1
1
x2 + 3 −
2
2
=
x
3
√
x
1
− 2 −1
=
= x1/2 + 3x−1/2
= x1/2 + 3 x−1/2
3 −3
1
3
x−3
1 −1
x 2 − x 2 =
1 −
3 =
2
2
2x3/2
2x 2
2x 2
Luego
f (x) =
x−3
.
2x3/2
Ejemplo 2 : Derive la siguiente funci´n
o
h (x) = cos4 sen2 x
Soluci´n : Aplicandoregla de la cadena, ya que, la funci´n a derivar es una comp’osici´n de funciones,
o
o
o
observe que el orden en que aparecen las funciones en dicha composici´n es:
o
(·)
−→
sen (·)
−→
(·)2
−→
(·)4
−→
cos (·)
(x) −→ sen (x) −→ (sen (x))2 −→ cos sen2 (x)
cos sen2 (x)
−→
4
= cos4 sen2 (x)
para derivar comenzamos con la ultima que aplicamos, en este caso lafunci´n (·)4 , continuamos con cos (·) y
´
o
as´ sucesivamente.
ı,
(·) −→ sen (·) −→
(·)2
−→
cos (·)
−→
(·)4
↓ ← Derivada
1
cos (·)
4 (·)3
− sen (·)
2 (·)
as´
ı,
2
(x) −→ sen
x
↓
−→
Funci´n
o
interna
sen (x)
↓
4
−→
cos sen2 (x)
Funci´n
o
interna
↓
−→
cos sen2 (x)
Funci´n
o
interna
↓
Funci´n
o
interna
31
cos
x
− sen sen2 (x)
2 sen (x)
4 cos sen2 (x)
luego
h (x) = (1) (cos (x)) (2 (sen (x))) − sen sen2 (x)
1
4 cos sen2 (x)
3
es decir,
h (x) = −8 sen x cos x sen sen2 x cos3 sen2 x .
Tambi´n podemos derivar directamente usando la regla de la cadena
e
h (x) = cos4 sen2 x
= 4 cos3 sen2 x
cos sen2 x
= 4 cos3 sen2 x
− sen sen2 x
sen2 x
= −4 cos3sen2 x sen sen2 x (2 sen x) (sen x)
= −8 cos3 sen2 x sen sen2 x sen x cos x
Luego
h (x) = −8 sen x cos x sen sen2 x cos3 sen2 x .
Ejemplo 3 : Derive la siguiente funci´n
o
f (x) =
3
x+
x+
√
x
Soluci´n : Observemos que esta funci´n es una funci´n compuesta, as´ para obtener su derivada aplicamos
o
o
o
ı,
la regla de la cadena, comenzamos derivando la ultima funci´n queaplicamos, en este caso 3 (·), donde
´
o
3
(·)
= (·)1/3
=
√
1
3
1
1
1 1/3−1 1 −2/3
(·)
= (·)
=
=
2/3
3
3
3 (·)
3 3 (·)2
entonces,
f (x) =
3
x+
x+
x
=
1
3
=
1
3
=
1
3
=
1
3
=
1
3
x+
x+
√
x+
2
x+
x+
√
(x) +
2
x+
x+
√
1+
x+
x+
√
x+
x+
√
1
2
1+
1
2x
2
x
1
3
1
2
1+
2
1
3
x
x+
√
x
x
1
3
√
x
1
3
x+
2
x
1
x+
1
x+
1
x+
√
√
√
x
x
x
(x +
1
3
3
x+
x+
√
1+
2
x
2
1
2
x+
√
x
1
1+ √
2 x
x)
√
(x) + ( x)
1
1+ √
2 x
Luego
f (x) =
√
.
Ejemplo 4 : Estudie el signo de la primera y segundaderivada de la siguiente funci´n
o
g (x) = x4/3 − 4x1/3
Soluci´n : Calculamos la primera derivada
o
g (x) = x4/3 − 4x1/3
4
4x−1
4
4
4
= x1/3 − x−2/3 = x1/3 − 2/3 =
3
3
3
3 x2/3
3x
=⇒
g (x) =
4x−1
,
3 x2/3
estudiamos el signo de la derivada, es decir, resolvemos una de las siguientes desigualdades
4x−1
>0
3 x2/3
Resolvemos la primera,
denominador
x−1=0
4x−1
< 0,3 x2/3
o
´
4x−1
> 0. Buscamos la ra´
ıces de la expresi´n del numerador y la expresi´n del
o
o
3 x2/3
=⇒
x = 1,
x2/3 = 0
y
=⇒
x=0
Estudiamos el signo
(−∞, 0) (0, 1) (1, ∞)
4/3
+
+
+
x−1
−
−
+
x2/3
+
+
+
−
−
+
Luego, la primera derivada es positiva si
x ∈ (1, ∞)
y es negativa si
x ∈ (−∞, 0)
(0, 1)
Calculamos,...
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