Derivadas

CLASE 7
DERIVADAS
7.1. Definición y ejemplos
Definición. Sea A ⊂ R, x0 ∈ A∩A� y f : A→R. La derivada de f en x0 es el límite
f �(x0) = l´ım
x→x0
f (x)− f (x0)
x−x0
= l´ım
Δx→0
f (x0+Δx)− f(x0)
Δx
si existe.
Recursos en línea: Definición de Derivada
Definición. Considerando los puntos donde f �(x0) existe para x0 ∈ A, formamos un subconjunto
B ⊂ A y una función f � : B→R queasocia, a cada elemento x ∈ B, su derivada f �(x). La función
f � obtenida es llamada la función derivada de f .
Recursos en línea: La derivada como función
Ejemplo. Para f : R→R, f (x) = x2, para todo a∈ R
f �(a) = l´ım
Δx→0
f (x)− f (a)
x−a
= l´ım
x→a
x2−a2
x−a
= l´ım
x→a
x+a = 2a.
La igualdad f �(x) = 2x se escribe, por abuso de notación, como
(x2)� = 2x.
Esta notación seráfrecuente para aplicaciones usuales.
Notaciones (aquí y = f (x)):
f �(x),
d f (x)
dx
, y�,
dy
dx
.
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Ejemplo. Se tienen
1. (c)� = 0, c constante.
2. (xn)� = nxn−1 para x ∈ R, n ∈ N;
3. (√x)� = 12√x , x > 0;
4. ( n √x)� = (x1/n)� = 1n
x1/n−1;
5. (ex)� = ex.
Teorema 7.1. Sea A ⊂ R, x0 ∈ A∩A�y f : A→R. Si f es derivable en x0, entonces f es continua
en x0.
La prueba es sencilla y sebasa en el cálculo del siguiente límite, sabiendo que x0 es un punto
de acumulación de A:
l´ım f (x)− f (x0) = l´ım
x→x0
f (x)− f (x0)
x−x0
(x−x0) = f �(x0) l´ım
x→a
(x−x0) = 0,
esto implica quel´ım
x→x0
f (x) = f (x0).
Teorema 7.2. (Teorema del Valor Medio) Sea f : [a,b]→R una función continua en [a,b] y derivable
en ]a,b[. Entonces existe un real c tal que a < c < b y
f �(c) =
f(b)− f (a)
b−a
.
7.2. Álgebra de derivadas
Teorema 7.3. Sea A ⊂ R, x0 ∈ A∩A�y f ,g : A→R derivables en x0. Entonces:
1. f +g es derivable en x0 y ( f +g)�(x0) = f �(x0)+g�(x0);
2. f −g es derivableen x0 y ( f −g)�(x0) = f �(x0)−g�(x0);
3. si c ∈ R, entonces c f es derivable en x0 y (c f )�(x0) = c · f �(x0);
4. f ·g es derivable en x0 y ( f ·g)�(x0) = f �(x0) ·g(x0)+ f (x0) ·g�(x0);
5. si...