derivadas

C´
alculo Diferencial e Integral - L’Hospital e impropias.

Prof. Farith J. Brice˜
no N.

Objetivos a cubrir

C´
odigo : MAT-CDI.11
0
∞
e
.
0
∞

• Regla de L’Hospital para formas indeterminadas de la forma
• Integrales impropias: L´ımites de integraci´on infinitos.
• Integrales impropias: Integrandos infinitos.

Ejercicios resueltos
ln (cos 3x)
ex − e−x

Ejemplo 1 :Calcular el siguiente l´ımite, si existe, lim sen
x→0

Soluci´
on : Puesto que la funci´
on seno es una funci´
on continua, entonces
ln (cos 3x)
ex − e−x

lim sen

x→0

= sen

lim

x→0

ln (cos 3x)
ex − e−x

observemos que el l´ımite argumento de la funci´
on seno es de la forma indeterminada
−3 sen 3x
cos 3x
ex + e−x

ln (cos 3x) L H
(ln (cos 3x))
lim
= lim
= lim
x→0ex − e−x
x→0
x→0 (ex − e−x )

,

0
, por lo tanto, aplicamos la regla de L’Hospital
0

= lim

x→0

−3 sen 3x
= 0,
(ex + e−x ) cos 3x

luego
ln (cos 3x)
ex − e−x

lim sen

x→0

= sen (0) = 0

5x − 3
x→∞ 2x + 4

Ejemplo 2 : Calcular el siguiente l´ımite, si existe,

lim

Soluci´
on : Observemos que este l´ımite es de la forma indeterminada
5x = ex ln 5

∞
. Esconocido que
∞
2x = ex ln 2

y

as´ı,
lim

x→∞

5x − 3
ex ln 5 − 3
= lim x ln 2
.
x
x→∞ e
2 +4
+4

Aplicamos la regla de L’Hospital

lim

x→∞

ex ln 5 − 3
ex ln 5 − 3 L H
= lim
x
ln
2
x→∞
e
+4
ex ln 2 + 4

= lim

x→∞

Ejemplo 3 : Calcular el siguiente l´ımite, si existe,

lim

3x
3x + 5

as´ı,
lim

x→∞

3x
3x + 5

3x
3x + 5

lim

x→∞Soluci´
on : Observemos que cuando x tiende a infinito, entonces,

x→∞

ex ln 5 ln 5
ln 5
=
lim ex(ln 5−ln 2) = ∞
ex ln 2 ln 2
ln 2 x→∞

x

3x
→ 1, por lo tanto,
3x + 5

x

= 1∞

x

Indeterminado

3x
ln 3x+5

x

= lim e
x→∞

3x
x ln 3x+5

= lim e
x→∞

como la funci´
on exponencial es continua, entonces
lim e

x→∞

3x
x ln 3x+5

3x
lim x ln 3x+5= ex→∞

1

calculamos el l´ımite

3x
3x + 5

lim x ln

x→∞

el cual es de la forma indeterminada 0 · ∞, lo escribimos como
ln

3x
3x + 5

lim x ln

x→∞

= lim

x→∞

3x
3x + 5
1
x

Indeterminado

0
0

Aplicamos la regla de L’Hospital

ln
lim

x→∞

3x
3x + 5
1
x

3x
3x + 5
1
x

ln
L H

=

lim

x→∞

= lim

x→∞

3 (3x + 5) − 3x (3)1
3x
1 9x + 15 − 9x
(3x + 5)2
3x + 5
3x
3x + 5
= lim
1
1
x→∞
− 2
− 2
x
x

5
1
15
(5x)
5x L H
5
5
(3x + 5)
3x 3x + 5
= − lim
=− ,
= lim
= lim
= − lim
= − lim
1
1
x→∞ (3x + 5)
x→∞
x→∞
x→∞ 3x + 5
x→∞ 3
3
− 2
−
x
x
luego

x

3x
3x + 5

lim

x→∞

= e−5/3

∞

Ejemplo 4 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral
3

dx
xln x ln (ln x)

Soluci´
on : Se tiene que
∞
3

b

dx
= lim
b→∞
x ln x ln (ln x)

3

dx
x ln x ln (ln x)

Resolvemos la integral indefinida por medio del cambio de variable
u = ln (ln x) ;

du =

1
dx,
x ln x

por lo tanto, tenemos
du
= ln |u| + C = ln |ln (ln u)| + C,
u

dx
=
x ln x ln (ln x)
as´ı,
b

b

dx
=
x ln x ln (ln x)

3

= ln |ln (ln b)| −ln |ln (ln 3)|

ln |ln (ln x)|
3

luego
∞
3

dx
= lim
b→∞
x ln x ln (ln x)

Por lo tanto,

∞

ln |ln (ln b)| − ln |ln (ln 3)|

dx
x ln x ln (ln x)

3

= ∞.

es divergente

1

√

Ejemplo 5 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral
0
Soluci´
on : Observemos que la funci´
on f (x) = √

1

dx
1 − x2

no est´
a definida para x = 1,por lo que es una integral impropia en el l´ımite

1 − x2

superior, por lo tanto,
1

√
0

dx
1 − x2

1

√

= lim

b→1−

0

dx
1 − x2

b

= lim

b→1−

= lim

arcsen x
0

b→1−

luego
1

√
0

dx

es convergente

1 − x2

2

arcsen (b) − arcsen (b)

=

π
2

4

Ejemplo 6 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral...