derivadas


Derivadas



Ejemplo 1. Un objeto tiene una ecuación de posición dada por X(t)= 12t3 + 6t2 – 5t + 6. Encuentra la ecuación que dacuenta de su velocidad y la ecuación para su aceleración.
Solución: Como nos piden la velocidad, necesitamos calcular la derivada. Revisando la función observamosque se trata de una función polinomial, por lo que necesitamos utilizar las reglas de derivación 1) y 2) para potencias y constantes. Por lo tanto aplicando lasreglas:
X(t) = 12t3 +6t2 – 5t + 6
V(t) = 12(3)t3-1 +6(2)t2-1 – 5t1-1 +0
V(t) = 36t2 + 12t - 5
Para obtener la aceleración, recordemos que se trata de la razónde cambio de la velocidad por lo que debemos de derivar la ecuación de velocidad obtenida:
V (t) = 36t2 + 12t – 5
a(t) = 36 (2)t2-1 + 12t1-1 – 0
a(t) = 72t +12


Problema 2. Consideremos a la siguiente situación de la caída libre de un cuerpo:
Un objeto se deja caer desde lo más alto de un edificio. En lugar deempezar a medir el tiempo cuando el objeto se deja caer desde la azotea (como lo hemos hecho usualmente) lo empezaremos a medir cuando el objeto pasa por laventana de uno de los pisos. En ese momento el objeto viaja a una velocidad v 0 = 4 m/seg y es visto por un observador que se encuentra a una distancia s 0 = 5 me dela parte superior del edificio.


 
Bajo estas circunstancias se puede probar que la distancia total recorrida queda expresada en términos del tiempomediante la fórmula:

a) Obtén la fórmula de la velocidad v ( t ) del cuerpo. (La derivada).
b) Calcula la velocidad en el instante t = 3 segundos.