Derivadas

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Prof. Aracelli Saldaña Arbaiza

Definición: Sea una función [pic]  y [pic] un punto del eje [pic]. Si se toma un punto [pic] muy próximo a [pic] (hes un número infinitamente pequeño), a medida que [pic]se hace tender cero, la recta secante que une los puntos [pic] y [pic] tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto [pic].Observación: La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la curva o gráfica de la función en el punto [pic]

[pic]

Ejemplo: Determinar la derivada de la función [pic] enel punto de la abscisa [pic]

Solución

Se evalúa la función en el valor x=1: [pic]

Se hace o mismo en el valor x=1+x: [pic]

[pic]

Por lo tanto, observando extremos:[pic]

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:

Se define como [pic]siempre que exista ese límite.



Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta tangente [pic] en el punto [pic]

SoluciónEvaluamos la función en x=1, entonces: [pic]

Hallemos la pendiente y evaluemos para cuando [pic] se aproxima al valor “1” :[pic]

Ahora, sabemos que la ecuación de una recta tiene la forma:[pic], como hemos encontrado que [pic] tenemos: [pic].

Para determinar el valor de “b”, se reemplaza los valor de [pic] en la ecuación:

[pic] así tenemos que [pic] y finalmente el valor es[pic].

Por lo tanto la ecuación de la recta es: [pic].

Ejemplo: Una empresa para producir anteojos tiene costos fijos de [pic]; [pic] son los costos variables y los ingresos totales de laventa de “x” unidades se representan por [pic]. Determine:

a) El costo total y marginal.

b) El ingreso marginal.

c) La utilidad marginal.

Solución

a) El costo total es: [pic]

Elcosto marginal es la derivada del costo total [pic]: [pic]

[pic]

[pic]

Finalmente: [pic]

b) El ingreso marginal es la derivada del costo total [pic]

[pic]
La utilidad marginal...