Derivadas

DERIVADA
Antes de empezar con la definición de derivada tenemos que entender que es una recta tangente. La Recta tangente: es una recta que solo toca a una curva en un punto.
Derivada: la pendiente de la curva tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese mismo punto.
La pendiente es igual a decir: =
(Definición de laderivada en una recta tangente)

Cociente Diferencial de Newton
Las derivadas se definen tomando un límite de la pendiente de las rectas secantes con forme se aproximan a la recta tangente. Utilizamos las rectas secantes para llegar a aproximación de la recta tangente. Cuando tenemos el límite de la pendiente de las secantes próximas obtendremos la recta tangenteEsta expresión es un coeficiente diferencial de Newton.
La derivada de f en x es el límite del coeficiente diferencial de newton con forme a las líneas secantes se acerca más a la tangente.
Coeficiente de Newton:
Ejemplo 1
Consideremos la siguiente función:

Entonces:







Ejemplo 2
Encontrar la pendiente de la función para lospuntos 3 y 5. Podremos encontrar su pendiente tomando en cuenta la definición andes descrita en la siguiente forma.









De igual forma para el punto














De esta manera podemos observar que el resultado se cumple para cualquier punto dado “a”:















Derivada de una función

Derivada de una función: es una medida de la rapidez con laque cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. Se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño.








Ejemplo 1
























Ejemplo 2:Derivada de una función en un punto
Derivada de una función en un punto: la derivada de una función f(x) en un punto x=a es el valor del límite, cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Derivada de la función en cualquier punto de su dominio
,
Ejemplo 1
Calcular la derivada de la función en el punto 2.Teorema de las derivadas
Teorema: derivada de una función constante es igual a 0, esto quiere decir que todo número que no tenga una variable no cambia por tanto se hace cero.

Teorema: si tenemos una variable que no es acompañada de un exponente es igual a 1.

Teorema: si tenemos una variable elevada a un exponente cualquiera le restamos 1 y bajamos el número del exponente que este pasa amultiplicar.

Teorema: cuando es una división se copia el de abajo y se deriva el de arriba después se resta luego se copia el de arriba y se deriva el de abajo, esto todo en el numerador ahora de denominador solo se eleva al cuadrado el de abajo.

Teorema: cuando tenemos una multiplicación copiamos el primero y derivamos el segundo después sumamos luego copiamos el segundo y derivamos elprimero.

Teorema: cuando es una suma se derivan cada uno por separado y se conserva su signo, este teorema también se puede ocupar en resta solo que en vez del signo más se coloca un menos.

Teorema: en esta parte tenemos un exponencial el cual nos dice que si esta elevado a cualquier número se copia como nos la dan y se deriva el exponente.

Teorema: si tuviéramos un logaritmo lo único quetenemos que hacer un numerador 1 y un denominador u (es un número cualquiera) y luego de esto derivar el denominador.





Ejemplos

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Derivada trigonométrica
En el caso de las derivadas trigonométricas ya que no hay una definición concreta se puede tomar como el inverso de cada uno con forme...