Derivadas

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL AMBIENTAL
ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Ejercicio 1. Usando la definici´on hallar la derivada de cada funci´on:
√

x2 + 4

1. f (x) = 2x + 1

6. H(x) =

2. f (x) = 3x2 + 5

7. f (x) =

3. s(x) = ax2 + bx + c

8. s(x) = αx + β
√
9. f (t) = 2t

4. f (x) = x3 + 2x2 + 1
5. g(x) = x4 + x2

10. f (x) =

x−1
x+1

6
x2 +1

Ejercicio 2.Cada l´ımite representa la derivada de alguna funci´on f en alg´un punto a. Establezca f y a en cada caso:
(3 + h)2 + 2(3 + h) − 15
.
h→0
h
3
3
2(5 + h) − 2(5)
l´ım
.
h→0
h
(1 + h)10 − 1
.
l´ım
h→0 √
h
4
16 + h − 2
l´ım
.
h→0
h
x
2 − 32
l´ım
.
x→5 x − 5
tan x − 1
l´ım
.
x→π/4 x − π/4

cos(π + h) + 1
.
h→0
h
t4 + t − 2
.
l´ım
t→1
t−1
6
(2 + h) − 64
l´ım
.
t→1
h
x2 − 4
l´ım
.
x→2 x − 2
3
x + x −30
l´ım
.
x→3
x−3
sen x − sen y
l´ım
.
x→y
x−y

a) l´ım

g) l´ım

b)

h)

c)
d)
e)
f)

i)
j)
k)
l)

Ejercicio 3. Encuentre f (x) para las siguientes funciones:
1. f (x) =

√
5

30 + ln(3/2 + π 2 )

2. f (t) = 43 x8

18. f (x) = x3 + 3x2 − 2x + 7
√
19. g(x) = x3 + 2

3. f (x) = x3 − 4x + 6
4. f (s) = 5es + 3
√
5. G(x) = x − 2ex
6. h(x) =
7. g(u) =
8. v(x) =

20. h(x) =

2u +

√

x+

√

3u

1
√
3x

212. f (x) = (1 + 4x)5 (3 + x − x2 )8
√
13. f (x) = (x2 + 1) 3 x2 + 2
x2 +1
x2 −1

15. f (u) =

eu −e−u
eu +e−u

2

2

9. f (x) = (x4 + 3x2 − 2)5
√
10. f (x) = 4 1 + 2x + x3
√
11. f (x) = 3 1 + tan x

14. f (x) =

x+1
x−1

21. f (x) = Ln(5x3 + 7x − 3)
√
22. h(x) = x2 · x − 5

√
x2 −2 x
x

√

17. f (x) = [x + (x + sen2 x)3 ]4

3

16. f (x) = sen(sen(sen x))

23. g(x) = 33x+7x
√
24. f (x) = 4 5x2 +5x − 3
25. g(x) =

(2x2 + 5x)3
x2 + 7

26. h(x) = 5e3x−1
√
27. h(x) = (2 − 3x2 )4 · ( 5x)3
28. f (x) =

cos x + 4
5x + x7

3x2
x+2
√
30. f (x) = sen4 ( x + 1)
29. g(x) = cos

31. h(x) = e3x · ln(x3 + 1)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Ejercicio 4. Calcular la derivada de:
f (x) = g(h4 (cos(x − 1)))
√
Donde g(x) es unafunci´on derivable y h (x) = ex − 4 3 x + 5
Ejercicio 5. sea y = 3u4 + 2u + 4, donde u = tan w y w = 7x3 + 13x + 5. Calcular

dy
dx

Ejercicio 6. Sean f y g, funciones reales de variable real. Suponga que gr´afica de g(x) pasa por el origen de coordenadas.
Suponer tambi´en que f (0) = 5, g (0) = 3. Calcular (f ◦ g) (0)
Ejercicio 7. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la par´abola y =4x − x2 en el punto (1, 3).
b) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la par´abola y = x − x3 en el punto (1, 0).
c) Si f (x) = 3x2 −5x, encuentre f (2) y use esto para encontrar la ecuaci´on de la recta tangente a la par´abola y = 3x2 −5x
en el punto (2, 2).
d) Si g(x) = 1 − x3 , encuentre g (0) y use esto para hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = 1 − x3 en el
punto (0,1).
Ejercicio 8. a) Si f (x) = 5x/(1 + x2 ), encuentre f (2) y use esto para encontrar la ecuaci´on de la tangente a la gr´afica
de f en (2, 2).
b) Ilustre la parte (a) graficando f y su tangente en una pantalla com´un.
Ejercicio 9. Encuentre una ecuaci´on para cada una de las rectas que pasan por (−11, −3), que sean tangentes a la curva
y = (x − 1)/(x + 3).
Ejercicio 10. Encuentre la ecuaci´on decada de las rectas normales a la curva f (x) = x3 − 4x que sean paralelas a la recta
L : x + 8y − 8 = 0.
Ejercicio 11. Encuentre una ecuaci´on para cada una de las rectas tangentes a la curva 3y = x3 − 3x2 + 6x + 4 que sean
paralelas a la recta 2x − y + 3 = 0.
Ejercicio 12. Sea f una funci´on que satisface la ecuaci´on
f (x + y) = f (x) + f (y) + x2 y + xy 2 ,
para todos los n´umeros reales x ey. Sabiendo que l´ım

x→0

(a) f (0)

(b) f (0)

f (x)
x

= 1, encuentre:

(c) f (x)

Ejercicio 13. a) Encuentre los valores de x donde la gr´afica de la funci´on f (x) = 2x3 +3x2 −12x+1 tiene recta tangente
horizontal.
b) ¿La gr´afica de la funci´on f (x) = 6x3 + 5x − 3 tiene alguna recta tangente con pendiente igual a 4?
√
c) Encuentre la ecuaci´on de la tangente a la curva y = x x que es...