Derivadas

MATEMÁTICA

Trabajo Práctico
Derivadas

Matemática- 6to año - Derivadas

1

Derivada de una función en un punto
La derivada de una función y = f (x ) en x = a, si existe, se
define:

f ' (a ) = limx →a

f ( x ) − f (a )
x−a

= lim

Δx → o

f ( a + Δx ) − f ( a )
Δx

Observación:
f(x) es derivable en x = a si:
• existen las derivadas laterales y éstas coinciden, es
decir:

f ' ( a ) − = f ' (a)
•

+

f ' (a ) es un número real

Se llama función derivada de f(x) o simplemente derivada de f(x) a una función f¨(x) que asocia a cada
absisa x, la derivada de f(x) en ese punto. En los puntospara los cuales la función tiene derivada, es
derivable.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

s

Si la recta “s” pasa por los puntos P y P´ es una
recta secante al gráfico de f(x). La pendiente “m”de
esa recta es:

m = tgα =

α

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f ( x ) − f ( a ) Δy
=
x −a
Δx

Cuando Δx → 0 ,
¾ el punto P’ se acerca hacia P,
¾ la recta secante tiende a ser la recta
tangentea la gráfica de f(x) en el punto P de
abscisa x = a (recta t)
¾ la pendiente de la recta tangente es:

f( x ) − f(a)
x →a
x −a

f ' ( a ) = lim

O sea: geométricamente, la derivada de una
función enun punto es la pendiente de la recta
tangente a la curva en ese punto.

1.

Calcula, aplicando la definición, la derivada de f(x) en los puntos que se indican.
a. f ( x ) = 5 x 2 − 4 x + 2
b. f ( x )= x
c.

f ( x) =

d. f ( x ) =

1
x

en x = 4

en x = - 2

1
x +1

en x = 3

e. f ( x ) = 2 x3

f.

en x = - 2

3
f ( x) = − x + 3x

g. f ( x ) = x 2 − 3 x + 1

⎛1⎞
h. m( x) = ⎜ ⎟
⎝ x⎠

en x = 1

en x= - 1
en x = a

2

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3

2. Encuentra las pendientes de las rectas tangentes trazadas en cada una de las gráficas y
completa:

f ’(2)=.......

f ’(-1)=.......h’(1/2)=.......

3. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) = (x − 2 ) en el punto de abscisa x = 2.
2

4. Averigua en qué punto la recta tangente a h( x ) = x tiene pendiente ¼...