Derivadas

rivadasDERIVADAS
Tema: La derivada como pendiente de una curva o como límite
Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

La pendiente de la curva en un punto P es la pendiente de la recta tangente en P.
Definición: La pendiente de una curva
En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de surecta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la fórmula:

supuesto que el límite exista. Entonces

2) Hacer que h→0 para obtener:

Definición: El límite
(B)
algunos autores usan x = h
se llama derivada de f en x (supuesto que el límite existe) y se denota por f’(x).
La notación f’(x) se lee "f prima de x". También se usa mucho la notación:
que se lee " la derivada dey respecto a x".
Ejercicios resueltos de derivadas por definición.
1) Determine la derivada de aplicando la ecuación (B). Solución:

2) Determine la derivada de la función Solución: Apliquemos la ecuación (B),

3) Determine la derivada de la función
Solución.
Aplicando la ecuación (B), tenemos,

Otras notaciones para la derivada de una función f son: y

Nota: En cualquierpunto donde la tangente es vertical, la pendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe.
Tema: Reglas de Derivación
Ya hemos calculado derivadas a través de la definición de la derivada como límite. Este procedimiento resulta en muchas ocasiones largo y tedioso.
Existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites.
Regla de las constantes: Laderivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0.
Ejemplos:

Regla de las potencias: Si f es una función diferenciable y f(x) = xn, entones
f’(x) = nxn-1, para cualquier número real n.
Ejercicios:

Regla del producto por un escalar: Si cf(x) es una función diferenciable, entonces

Ejercicios:

Regla de la suma: La derivada de lasuma de dos funciones es la suma de las derivadas. Esto es, si f y g
son funciones direrenciales, entonces :

Ejercicios:Deriva las siguientes funciones y evaluarla en los casos indicados.
1) g(x) = x3 – 4x + 2; g’(2)

Ejercicio: Halla la derivada de:

3) f(x) = x2 + x + 1
Tema: Derivadas de orden superior
Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallarsu derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.
Por ejemplo, si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:
primera derivada es : f’(x) = 18x2 - 10x
segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10
tercera derivada es : f’’’(x) = 36
cuarta derivada es : f(4)(x) = 0n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0
Ejercicios para discusión:
1) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f’’’(-1).
2) Halla las primeras cuatro derivadas de :

Nota: Si f’(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la gráfica de f’. Así también, f’’’(x) representa la pendiente de la gráfica de f".
Tema: Velocidad y Aceleración
Definición: Si s(t)representa la función posición de un objeto en el tiempo t que se mueve a lo largo de un recta, la velocidad instantánea del objeto en el instante c, está dada por:

Siendo la velocidad promedio en un intervalo [f(c), f(c + h)]:

Ejercicio: Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s(t) = 2t2 - 12t + 10, donde s se mide en pies y t en segundos.
a) Completa la tabla devalores e ilustra en una recta numérica el movimiento del objeto.
t | s(t) |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
b) Halla la velocidad del objeto cuando t = 0,1,2,3,4.
c) Indica cuándo la velocidad a cero.
d) Halla la velocidad promedio en el intervalo 0 t 4.
Nota: La velocidad puede ser negativa. Para el movimiento horizontal consideramos la velocidad negativa cuando el...