Derivadas

Derivaci´on num´erica
David Vivas
August 2015

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Introducci´
on

Tenemos el siguiente problema: dada una funci´on y = f (x) queremos calcular
una de sus derivadas en el punto x = xk . Una forma de resolver es usando el
concepto de interpolaci´
on, es decir, hallar un polinomio que se aproxime a la
funci´
on dada en un intervalo dado y luego derivar dicho polinomio, pero tambi´en
se puedeutilizar una expansi´on en series de Taylor de la funci´on dada alrededor
del punto xk , lo cual tiene una ventaja ya que se tiene informaci´on sobre el error
que est´
a involucrado en ´esta aproximaci´on. La derivaci´on num´erica no es un
proceso exacto ya que existe un conflicto entre el error por redondeo debido a
la precisi´
on de las computadoras y los errores inherentes a la interpolaci´on, por´esta raz´
on una derivada de una funci´on nunca puede ser calculada con la misma
precisi´
on como la funci´
on misma.
La diferenciaci´
on num´erica se utiliza para evaluar las derivadas de una
funci´
on por medio de sus valores dados en los puntos de una ret´ıcula. Las
aproximaciones por diferencias son importantes en la soluci´on de ecuaciones ordinarias y parciales. Para ilustrar la diferenciaci´onnum´erica consideremos una
funci´
on f (x). Si se desea evaluar la primera derivada de f (x) en x = x0 y se
conocen los valores de f (x) en x0 − h, x0 y x0 + h donde h es el tama˜
no del
intervalo entre dos puntos consecutivos en el eje x,entonces se puede aproxi-

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mar f (x0 ) mediante el gradiente de la interpolaci´on lineal A, B o C como se
muestran en las figuras siguientes. Estasaproximaciones se denominan respectivamente aproximaciones por diferencias hacia adelante, hacia atr´
as y central.
Sus f´
ormulas matem´
aticas son como siguen respectivamente:
f (x0 ) ≈

f (x0 + h) − f (x0 )
h

f (x0 ) − f (x0 − h)
h
f (x0 + h) − f (x0 − h)
f (x0 ) ≈
2h
f (x0 ) ≈

(1)
(2)
(3)

Existen tres tipos de enfoques para obtener aporximaciones por diferencias. El
primero se basa en el desarrollode Taylor de la funci´on alrededor de un punto
de la ret´ıcula, el segundo utiliza los operadores de diferencia y el tercero deriva
los polinomios de interpolaci´on.

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Uso del desarrollo de la serie de Taylor

Cuando una funci´
on se representa num´ericamente en puntos discretos, esta se
aproxima mediante interpolaci´on. As´ı la diferenciaci´on num´erica de la funci´on se
calcula derivando laf´
ormula de interpolaci´on. Primero se obtendr´a las f´ormulas
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mediante el desarrollo de Taylor, que es equivalente a la diferenciaci´on de una
interpolaci´
on y conduce exactamente a los mismos resultados.
Para una derivada de orden p el m´ınimo de datos necesario para obtener una
aproximaci´
on por diferencias es p + 1. Por ejemplo, una aproximaci´on por
diferencias para la primera derivadade una funci´on necesita al menos dos puntos.
Deducci´
on de la aproximaci´
on por diferencias de fi = f (xi )
Para esta deducci´
on necesitamos de fi = f (xi ) y de fi+1 = f (xi+1 ). Los valores
de f en todos los puntos distintos de xi se desarrollan en una serie de Taylor.
El desarrollo de Taylor de fi+1 alrededor del punto xi es:
fi+1 = fi + hf i +

h2
f
2!

i

+

h3
f + ...
3! i

(4)

Aldespejar fi en la ecuaci´
on 4 se tiene:
fi=

1
fi+1 − fi
− hf
h
2

i

1
− h2 f
6

i

−

...

(5)

Si truncamos despu´es del primer t´ermino, la ecuaci´on (5) es la aproximaci´on por
diferencias hacia adelante que se vi´o en la ecuaci´on (1). Los t´erminos truncados
conforman el error por truncamiento. Este se puede representar por medio del
coeficiente principal 1 − (h/2)fi , en este caso ya que losdem´as t´erminos se
anulan mas r´
apido que ´este cuando h decrece. La aproximaci´on por diferencias
hacia adelante se expresa, incluyendo el efecto del error por truncamiento como
sigue:
fi=

fi+1 − fi
+ O(h)
h

(6)

donde:
1
O(h) = − hf
2

(7)

i

El t´ermino O(h) indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo h. El error tambi´en es proporcional a la segunda derivada f
La...