Derive

DERIVE









8.1 FUNCIONES CON POCOS DATOS: POLINÓMICAS
Y RACIONALES

Considera la función f(x):=x^3-6x^2+9x. Introdúcela.

Halla su primera derivada con f’(x). No olvides que se trata del apóstrofe, ’, y no del acento, ´. Pulsa para resolver la ecuación f’(x)=0 y obtener posibles máximos o mínimos. Anótalos (x = 1 y x = 3).

Halla la segunda derivada conf’’(x). Pulsa para resolver la ecuación f’’(x)=0 y obtener los puntos de inflexión. Anótalos (x = 2).



Para hallar las ordenadas de los posibles máximos y mínimos, simplifica f (1) y f (3). ¿Cuál será el máximo y el mínimo? Asegúrate hallando f ’’( 1) y f ’’(3). Para hallar la ordenada del punto de inflexión, simplifica f (2). Para hallar los puntos de corte con los ejes,simplifica f (0) y resuelve f (x) = 0.

Con los datos obtenidos trata de esbozar la gráfica.

Introduce f(x) y pulsa para abrir la ventana de gráficos. Una vez abierta, vuelve a pulsar para representar la función. Usa los iconos y para centrar la pantalla en la posición del cursor o en el origen, y pulsa o para ampliar o reducir la imagen en uno o ambos ejes.

En el menúVentana elige la opción Mosaico vertical para visualizar gráficos y expresiones, simultáneamente.



Sitúa el cursor sobre el máximo y el mínimo, y comprueba que los valores que aparecen en la parte inferior de la ventana gráfica son los obtenidos. Si pulsas F3, el cursor salta a la gráfica (modo traza) y puedes recorrerla con las flechas del teclado. Pulsando de nuevo F3 se sale del modotraza.

En las funciones polinómicas (siempre continuas) las derivadas proporcionan la información más relevante, pues permiten calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión, y detectar los intervalos de crecimiento y concavidad.


Practica

1. Introduce la función f(x):=x^3/(x^2-4). Representa [y=x^3/(x^2-4), y=x, x=2, x=-2]. Obtendrás la gráfica simultánea de la función y susasíntotas verticales y oblicua. Usa el zoom en uno o ambos ejes si es preciso.



Halla los siguientes límites con DERIVE:

LIM(f(x), x, 2, 1) LIM(f(x), x, 2, -1) Asíntota vertical x = 2 y posición de la curva respecto a ella.

LIM(f(x), x, -2, 1) LIM(f(x), x, -2, -1) Asíntota vertical x = 2 y posición de la curva respecto a ella.

LIM(f(x), x, inf) LIM(f(x), x, -inf) No hay asíntotahorizontal.

LIM(f(x)/x, x, inf) Pendiente de la asíntota oblicua a = 1.

LIM(f(x)-x, x, inf) Término independiente de la asíntota oblicua.

En las funciones racionales los límites permiten hallar las posibles asíntotas. Analizando la situación de la curva respecto a ellas podemos esbozar la gráfica con gran aproximación.

2. Halla los posibles máximos o mínimos de la función f (x) de lapráctica anterior. Para ello, introduce y resuelve con la ecuación f’(x)=0. Puedes utilizar para obtener una aproximación decimal de los valores de x. Compruébalo en la gráfica.



DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ANALÍTICA

3. Asigna cada de una de las siguientes funciones a su gráfica y compruébalo después representándolas.

Describe cada una de ellas con el menor número posiblede elementos:


























 –2x + 1  2x+1  tg(x)
 (x + 1)/2  x2 – 4  2x + 1
 (x + 1) · (x – 2) · (x – 3)  9 – x2  ln(|x|)
 |(x – 1) · (x – 2) · (x – 3)|  |x – 2|  ln(x – 3)
 (x – 1)2 · (x – 2)3  |x2 – 4|  sen(x)
 (x – 1) · (x + 2) · (x + 3)  2x  sen(2x)
 (x + 1) · (x – 2)  2–x  –cos(x)

DE LA EXPRESIÓNANALÍTICA A LA GRÁFICA

4. Considera la primera gráfica del ejercicio anterior:



Asigna las gráficas siguientes a las funciones:

f (x)+1 f (x+1) 2f (x) f (2x) –f (x)

f (–x) | f (x)| f (| x |) f (x)+1 f (x+1)










Compruébalo introduciendo f(x):=(x+1)(x-2)(x-3) y representando las funciones pedidas.

Para estudiar y representar una función conviene abordar...