Desarrollo De Clase 2

Desarrollo de clase 2
Recordando la definición de ángulos opuestos por el vértice
Ángulos opuestos por el vértice.- Definición Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.
Teorema:
Ángulos opuestos por el vértice son iguales
Hipótesis: α y β opuestos por el vértice
Tesis: α = β
Demostración:
α + γ = 180º por ser adyacentes.
β + γ =180º por ser adyacentes.
Por consecuencia del corolario de la propiedad transitiva, los primeros términos deben ser iguales entre sí:
α + γ = β + γ
Y dado que γ es igual a sí mismo, restándolo en ambos miembros de la igualdad:
(α + γ) - γ = (β + γ) - γ
α = β
Corolario: las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son coloniales
Definición de paralelas:
Partiendo del quinto postulado deEuclides que dice:
Si una recta al incidir sobre dos rectas (transversal) hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
m + n < 180 °
AB y CD se cortarán


Este postulado es equivalente a la siguiente afirmación:
Si una recta al incidir sobre dos rectas hace losángulos internos del mismo lado igual que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente nunca se encontrarán. Por lo tanto son paralelas entre sí.

m + n = 180 °
AB y CD no se cortarán, por lo tanto AB y CD paralelas.

Este postulado se conoce como el Postulado de paralelas que generalmente se enuncia de la siguiente manera:
Si se tiene dos rectas paralelas y una transversal, los ángulosinternos de mismo lado de la transversal son suplementarios, y recíprocamente, si dos rectas de un plano forman con una transversal, ángulos internos del mismo lado de la transversal suplementarios, las dos rectas son paralelas.
Propiedades de las paralelas
Si una recta corta a otra, también corta a todas las rectas paralelas a ésta.
Si una recta es perpendicular a otra, entonces también esperpendicular a todas las paralelas de ésta.

Ángulos formados por dos paralelas y una transversal
Teorema:
Ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes formados por una transversa con dos líneas paralelas son iguales.
Ejemplo de demostración:

Hipótesis: l paralela a m
α y β alternos internos
Tesis: α = β
Demostración:
 = 180 ° por el quinto postulado de Euclides
 =180 ° por adyacentes
Por lo tanto
 =
A dos cantidades iguales se restan cantidades iguales se obtiene otra igualdad (postulado de las matemáticas)
Por lo tanto α = β l.q.q.d
Teorema: si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos son congruentes o suplementarios.

Dato o hipótesis: OB paralela YW
OA paralelo XZ

Tesis: < AOB = < XPW
< p´ es suplemento de< AOB
Teorema: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales (si ambos son agudos o ambos son obtusos) o suplementarios (si uno es agudo y el otro es obtuso).


Resolver los siguientes ejercicios
En las siguientes proposiciones, indicar cuál es la hipótesis y cuál es la tesis.

a) Si un número termina en cero, entonces es divisible por 10.
b) Si un número es divisiblepor 10, entonces termina en cero.
c) Si dos rectas al ser intersectadas por una transversal producen ángulos alternos internos de igual medida, las rectas son paralelas.
d) Dados dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, si tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son suplementarios.
e) En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos.
f) Dadas dos rectas paralelas cortadas por una transversal, las bisectrices de dos ángulos internos del mismo lado de la transversal se intersectan formando un ángulo recto.
g) Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares.
h) Si desde un punto fuera de una recta se trazan oblicuas a la recta cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular trazada desde...