Descomposicion En Primos Ii (Hasta El 10000)

Descomposici´n de los diez mil primeros n´meros en factores primos. o u

1

Descomposici´n factorial de 10000 enteros en producto de primos. o
A continuaci´n se te van a dar las descomposiciones factoriales en producto de primos de todos los o n´meros enteros de 1 a 10000. Si quieres practicar, elige uno de esos enteros e intenta descomponerlo u como producto de primos. Si puedes hacerlo deltiron y sin paradas ¡genial! si no, mira en la tabla correspondiente y comprueba que ese n´mero que se atasca y no sabes dividir no sea primo, pues u entonces ya habr´as acabado. Antes de comenzar, te recuerdo algo de teor´ y algunos ejemplos que ı ıa te vendr´n bien. a N´meros primos u Todo n´mero entero siempre se puede dividir por el 1 y por s´ mismo. Los n´meros primos son u ı u aquellosn´meros enteros que no tienen m´s divisores adem´s del 1 y de ellos mismos, tal como le u a a pasa al 2, al 3, al 5 o al 23. Una forma de ir localizando n´meros primos es seguir la llamada criba de u Erat´stenes1 . De todos modos, aunque nos esforcemos hay que decir que no podremos encontrarlos o todos, ya que los n´meros primos son infinitos, siendo menos numerosos a medida que son m´s u a grandes2 .Unos primos muy curiosos son los llamados primos gemelos, o aquellos que est´n separados por a un unico n´mero (par), como le pasa al 5 y al 7, al 17 y al 29, al 2141 y 2143... Estas parejas de ´ u primos tambi´n son infinitas. e Ejemplo 1. Descomponer en factores primos el n´mero 90 u
Este tipo de ejercicios es muy f´cil si sabemos dividir. El proceso es el siguiente; tomamos a el n´mero adescomponer, el 90, y probamos a dividir, sin resto, por 2, el primero de los u primos distinto de 1. Trazamos un segmento vertical y a la izquierda ponemos el dividendo y los cocientes, a la derecha los sucesivos divisores. la divisi´n es exacta, y obtenemos de o cociente el 45. Probamos a dividir de nuevo por 2 el ultimo cociente, y vemos que no da ´ exacto, pues nada, se prueba ahora por 3 (elsiguiente primo tras el 3, y en lo que sigue nos ´ olvidamos del 2), y vemos que 45 se divide por 3 y da 15. Este se puede dividir de nuevo por 3 y da 5, que ya no se puede dividir por tres. Tras el 2 y el 3 buscamos el siguiente primo que puede dividir de forma entera al 5, y es precisamente el 5, obteniendo de cociente 1. Fin del proceso. A continuaci´n leemos los sucesivos divisores, parte de laderecha de arriba o 2, 3, 3, 5, y decimos que 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32 · 5

90 45 15 5 1

2 3 3 5

hacia abajo,

Ejemplo 2. Descomponer en factores primos los n´meros 120, 144, 250, 400 y 15015 u
120 60 30 15 5 1 2 2 2 3 5 144 72 36 18 9 3 1 2 2 2 2 3 3 250 125 25 5 1 2 5 5 5 400 200 100 50 25 5 1 2 2 2 2 5 5 15015 5005 1001 143 13 1 3 5 7 11 13

120 = 23 ·3·5

144 = 24 ·32

250 = 2 ·53

400 = 24 ·52

15015 = 3·5·7·11·13

Una interesante propiedad de las descomposiciones factoriales de n´meros enteros en n´meros u u primos es que puede establecerse una biyecci´n, esto es, no s´lo si dos descomposiciones factoriales o o son distintas, entonces los n´meros enteros son distintos, sino que dos n´meros enteros distintos u u tienen distintas descomposiciones factoriales; ypor ejemplo s´ que las descomposiciones 23 · 3 y 2 · 33 e son distintas sin haberlas calculado.
1 Que consiste en escribir todos los n´ meros enteros desde 2 hasta uno cualquiera, por ejemplo 100, tomar el primero, el 2, y eliminar u todos los los m´ ltiplos suyos (4, 6, 8, 10, etc.). Tomar los que quedan sin tachar, quedarnos con el primero, el 3, y eliminar los m´ ltiplos u u suyos no tachados(9, 15, 21, 27, etc.). Tomar los que quedan sin tachar, quedarnos con el primero, el 5, y tachar todos los m´ltiplos suyos u no tachados (25, 35, 55, 65, etc.). Y seguir este proceso hasta que los n´ meros con los que nos estamos quedando lleguen al final de la lista u inicial. 2 Como puede apreciarse en la siguiente tabla (hay 25 primos entre 1 y 100, 21 primos entre 101 y 200, 16 entre 201 y...