Descripción de la trayectoria del tiro parabólico

Introducción:
El objetivo de este trabajo es describir, mediante el cálculo, y de forma razonablemente aproximada, la trayectoria del hombre bala lanzado desde el lado mexicano de la frontera hacia EU, lo cual se muestra en la siguiente imagen:


http://www.facebook.com/#!/photo.php?pid=1786171&o=all&op=1&view=all&subj=151011918269909&id=1106348353

Si consideramos en la escala de laimagen, 1.70 metros como la estatura del hombre lanzado, equivalente a 5 milímetros, la distancia recorrida es 12.66 cm. Entonces 5 milímetros caben 24 veces en 12 cm. Por lo tanto, si multiplicamos (24)(1.70) nos da 40.8 una distancia recorrida de 40.8 mts.
Automáticamente sabemos que a la mitad de esa distancia, es decir a los 20.4mts, el hombre bala alcanzo la altura máxima.
Tras realizar lamedición, tomamos el ángulo de lanzamiento de 45⁰, pues nos estamos situando a la altura del cañón, no en “el piso real” de la imagen, es decir, estamos despreciando h.
Estas medidas ayudan a darnos una idea introductoria del problema, sin embargo son meras aproximaciones, pues aun falta especificar los datos, cosa que haremos con la función que describe esta trayectoria por lo ello buscamos obtenerla ecuación de esta parábola con los puntos conocidos: (2,2) (4,3) (8,3)
Partiendo de: y = ax² + bx + c
Tras plantear y resolver como matriz (considerando el tiempo de forma implícita), llegamos a la siguiente ecuación:



Si graficamos esta función, podemos ver que se comporta como la del hombre bala: (Aprox. 12 unidades en el eje horizontal y 3.3 unidades en el eje vertical)

Estees el comportamiento de la trayectoria del hombre bala:


Derivando la función obtenemos:


Esto se puede corroborar gráficamente con la siguiente imagen:


Igualando:

Tenemos:

Esto es igual que:

Tras haber derivado para encontrar la velocidad, y despejar t se demuestra que su valor es 6 unidades, las cuales representan 20.4 metros, como coordenada en x, para la alturamáxima alcanzada por el hombre bala.
Si volvemos a derivar obtenemos la aceleración, la cual estaría dada por:



Lo que se puede ver en la siguiente imagen:


Para demostrar el punto más alto en y que se muestra en la gráfica, sustituimos 6 en la función de la parábola que obtuvimos:

= 3.333333333
Multiplicamos por 3.4, (por la escala) y obtenemos que la altura máxima que alcanzo elhombre bala de acuerdo con este planteamiento es de 11.33 mts.
Nota: Tomamos en cuenta la c=1/3 porque efectuando diferentes cálculos vimos que la función:

Era la que se ajustaba al comportamiento de la trayectoria del hombre bala.
Definiciones y características del tiro parabólico:
Hemos introducido el problema como función. A continuación profundizaremos en el estudio de este movimientoy su comportamiento desde el aspecto físico, es decir, hablaremos de las fuerzas involucradas y realizaremos las demostraciones correspondientes, para de esta manera retomar la descripción que se pretende realizar del movimiento del hombre bala.
El problema en cuanto a tal corresponde a la cinemática, y es afectado por la Primera Ley de Newton:
“Todos los cuerpos continúan en su estado dereposo, o de movimiento uniforme en línea recta excepto en la medida de que sean obligados a cambiar dichos estados por fuerzas impresas sobre ellos”
Cita:
Raúl Gómez G, José Marquina F, Vivianne Marquina F Sobre las Leyes de Newton (1983)
http://rmf.fciencias.unam.mx/pdf/rmf/30/4/30_4_693.pdf

Por lo tanto una vez que existe la fuerza inicial que dispara al cuerpo, ésta deja de interactuar sobreel mismo pero como consecuencia de su actuar genera que este alcance una velocidad que de no perturbar otra fuerza proseguiría indefinidamente.
La velocidad del cuerpo mantendría la misma dirección y tendría la misma rapidez, en otras palabras sería constante. Esto es un movimiento rectilíneo y uniforme.
La velocidad es una cantidad vectorial y su dirección obviamente está dada por la...