Desigualdades

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS.
ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA Y DESIGUALDADES.
Los números reales quedanordenados mediante la relación “menor que”. Las expresiones que utilizan el símbolo 0 y negativo sí a< 0. El número cero no es negativo ni positivo. En consecuencia cada Real es positivo, negativo ocero.
TEOREMA: El conjunto de los números reales positivos es cerrado respecto a la adición. (Sí a y b son positivos entonces a + b es positivo).
DEMOSTRACIÓN:
1) a > 0 Hipótesis.
2) a + b >0 + b Ax. Adición
3) 0 + b = b > 0 Neutro e hipótesis
4) a + b > b > 0 Transitividad 2), 3).
TEOREMA: R+ es cerrado para la multiplicación.
DEMOSTRACIÓN:
Primera parte:
a > 0…………………………
a + (–a) > 0 + (–a) …………………………
0 > –a …………………………
Segunda parte:
a < 0 ……………………………
a + (–a) < 0 + (–a) ……………………………
TEOREMA. Ley de adición: Para toda a, b, c R, si a > b entonces a + c > b + c.
DEMOSTRACIÓN:
TEOREMA. Sia, b,  R+ entonces a < a + b, y, b < a + b.
TEOREMA. Si a < b, y, c < d entonces a+ c < b + d.
TEOREMA: Sí a > b entonces –a <–b
DEMOSTRACIÓN:
a > b …………………………………
a + (–a) + (–b) > b + (–a) + (–b) …………………………………
TEOREMA: Para todo a  R, a2= 0 ó a2 > 0.
DEMOSTRACIÓN:
Primera parte: Sí a = 0entonces aa = a2 = 00 = 0
Segunda parte: Sí a  0:
Sí a > 0 entonces aa = a2> 0 ………………………………
Sí a < 0 entonces (–a) > 0 ………………………………
TEOREMA: Dados a, b, c R, sí a > b y c> 0 entonces ac > bc.
TEOREMA: Dados a, b, c R, sí a > b y c < 0 entonces ac < bc.
DEMOSTRACIÓN:
c < 0 ………………………………………..
a(–c) > b(–c) ………………………………………..
ac < bc………………………………………..
TEOREMA: Si a * b < 0 entonces ( a > 0 y b < 0) ó ( a_ 0)
TEOREMA: Sí a > 0 entonces {draw:frame} {draw:frame} > 0
DEMOSTRACIÓN:
Sí {draw:frame}...