desigualdades

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE
Una desigualdad cuadrática de una variable, tal como x, es una desigualdad que tiene términos proporcionales a x y a x2 y términos constantes. Las formasestándares de una desigualdad cuadrática son

ax2 + bx + c > 0 (o bien < 0) o bien ax2 + bx + c ≥ 0 (o bien ≤ 0)

En donde a, b y c son constantesdeterminadas (a  0).
Otra vez estamos interesados en resolver una desigualdad dada, esto es, en determinar el conjunto de x para el cual la desigualdad se cumple. Podemos hacer esto primeroreemplazando la desigualdad con un signo = y encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática resultante. Estas soluciones dividen a la recta numérica en intervalos. En cada intervalo seleccionamos un puntoy probamos si la desigualdad es cierta o falsa en ese punto. Si es verdadera en ese punto, entonces será verdadera en todos los puntos del intervalo, y recíprocamente, si es falsa en un punto en elintervalo, entonces será falsa en todos los puntos de ese intervalo.

EJEMPLO 1 Resuelva la desigualdad x2 +3x < 4

Solución
Primero reescribimos la desigualdad en laforma estándar restando 4 de ambos miembros:

x2 + 3x - 4 < 0

Reemplazamos el signo < por =, obtenemos la ecuacióncuadrática x2 + 3x - 4 = 0.
Ésta puede resolverse por medio de factorización. Se convierte en (x - 1)(x + 4) = 0, de modo que las raíces son x =1 y x =-4. Graficando estos puntos en la recta numérica.Los dos puntos dividen a la recta numérica en tres intervalos, x 1. En cada uno de estos intervalos, la expresión siempre conserva el mismo signo, ya que sólo cambia de signo cuando pasa por el cero,y esto sucede sólo cuando x = -4 o 1.




Tomemos cualquier punto en el primer intervalo x< - 4: seleccionamos x= - 5.
Entonces x2 + 3x - 4 = (- 5)2 + 3(- 5) - 4 = 6 > 0. La desigualdad es...