Determinantes- Algebra Lineal.


DETERMINANTES

1. Definiciones
Sea A= una matriz de 2 x 2

Det A =

Con frecuencia se denotará det A por
│A│ o

DEFINICION 1
Determinante 3 x 3
Sea A= Entonces

Det A = │A│= - +


Ejemplo 1 Cálculo de un determinante de 3 x 3
Sea A = Calcule │A│

Solución = = 3 - 5 + 2
= 3 ∙ 2 – 5 ∙ 19 + 2 ∙ 10 = - 69

DEFINICION 2
Menor
Sea A una matriz de n x n y seala matriz de (n – 1) x (n – 1) que se obtiene de A eliminando el renglón i y la columna j. se llama el menor ij de A.

Ejemplo 2 Cálculo de dos menores de una matriz de 3 x 3
Sea A = Encuentre

Solución Eliminando el primer renglón y la tercera columna de A se obtiene
= . De manera similar, si se elimina el tercer renglón y la segunda columna se obtiene = .

DEFINICION 3
CofactorSea A una matriz de n x n. El cofactor ij de A, denotado por está dado por
││

Esto es, el cofactor ij de A se obtiene tomando el determinante del menor ij multiplicándolo por . Observe que



EJEMPLO 3 Cálculo de dos cofactores de una matriz 4 x 4
En el ejemplo anterior se tiene
= ││= - = - 8
= = - 192
Ahora se considerará la matriz general de n x n. Aquí
A =

DEFINICION 4Determinante n x n
Sea A una matriz de n x n. Entonces el determinante de A, denotado por det A o │A│, está dado por

Det A = │A│= =

DEFINICION 5

Matriz triangular
Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todas sus componentes debajo de la diagonal son cero. Es una matriz triangular inferior si todas sus componentes arriba de la diagonal son cero. Unamatriz se denomina diagonal si todos los elementos que no se encuentran sobre la diagonal son cero; es decir, A= es triangular superior si = 0 para i > j, triangular inferior si = 0 para i < j, y diagonal si = 0 para i ≠ j.
EJEMPLO 4 4 matrices triangulares
Las matrices C = y D = son matrices triangulares inferiores; I (la matriz identidad) y E = son diagonales. Observe que la matriz E estambién triangular superior y triangular inferior.

TEOREMA I
Sea A = una matriz de n x n triangular superior o inferior. Entonces
Det A =

EJEMPLO 5 Determinantes de cuatro matrices triangulares
Los determinantes de las cuatro matrices triangulares en el ejemplo anterior son │C│= 5 ∙ 3 ∙ 4= 60; │D│= 0; │I│= 1; │E│= (2)(- 7)(- 4)= 56.

TEOREMA II
Sea T una matriz triangular superior.Entonces T es invertible si y solo si det T ≠ 0

TEOREMA III
El área generada por A = │det A│.

2. TEOREMAS

TEOREMA I
Sean A y B dos matrices de n x n. Entonces
Det AB = det A det B
Es decir: el determinante del producto es el producto de los determinantes.

EJEMPLO 6 Ilustración del hecho de que det AB = det A det B
A = y B =
Det A = 16 y det B = - 8. Se puede calcular
AB ==
Y det AB = - 128 = (16)(- 8)

TEOREMA II
Si la matriz cuadrada de A tiene la factorización LU, A = LU donde L tiene unos en la diagonal, entonces
Det A = det U = producto de los elementos de la diagonal U

TEOREMA III
Si PA = LU, donde P es una matriz permutación y L y U son como antes, entonces
Det A = = ± det U

EJEMPLO 7 Uso de la factorización PA = LU para calcular eldeterminante de una matriz de 3 x 3
Encuentre det A, donde A =
P = y U =
Ahora bien, det P = 1 y det U = (1)(2)(- 3), de manera que det A = = - 6.
TEOREMA IV
Det = det A

EJEMPLO 8 Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
Sea A = Entonces A’ = y es fácil verificar que │A│= ││= 16

TEOREMA V Teorema básico
Sea A = una matriz n x n. Entonces
Det A = =

Para i= 1, 2, … , n. Es decir, se puede calcular el det A expandiendo por cofactores en cualquier renglón de A. Más aún,

Det A = =

Como la columna j de A es , la ecuación (2) indica que se puede calcular det A expandiendo por cofactores en cualquier columna de A.

EJEPMPLO 9 Obtención del determinante expandiendo en el segundo renglón o la tercera columna.
A= , det A = - 69. Expandiendo en...