Determinantes y propiedades

El determinante y sus propiedades **** |
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FUNDAMENTOS DEL CURRICULUM DE MATEMATICAS ICURSO 2010/2011 |
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INDICE
1. DEFINICIONES PREVIAS2.1. MULTILINEALIDAD
2.2. FORMAS MULTILINEALES ALTERNADAS

2. DEFINICION DE DETERMINANTE

3. PROPIEDADES DEL DETERMINENTE

4. CALCULO DEL DETERMINANTE. REGLA DE SARRUS

5. RELACION ESTRE LA MATRIZ INVERSA Y LOS DETERMINATES

6. BIBLIOGRAFÍA

1. DEFINICIONES PREVIAS
2.1. MULTILINEALIDAD
Definición.- Dado E espacio vectorial sobre K, una formamultilineal de orden k sobre E es una aplicación
φ:E ×E×… ×E (k veces)→K

tal que, para cada j=1,2,…,k, ∀uj, u, v ∈E,∀λ, μ∈K,
φu1, …, uj-1, λu+μv, uj+1, …,uk=
=λφu1, …, uj-1, u, uj+1, …,uk+μφu1, …, uj-1,v, uj+1, …,uk

es decir, que una forma multilineal es una aplicación, a valores en K, que depende de varios vectores y es lineal en cada uno de ellos. O dicho de otra manera: fijando todas lasvariables vectoriales menos una cualquiera, se obtiene una forma lineal de E.

Al igual que ocurría con las aplicaciones lineales, cada forma multilineal va a quedar caracterizada por su actuación sobre los elementos de una base de E; en efecto, sea
B=(e1, …, en)
una base de E; sean los n × k elementos de K
ai1, i2, …, 1k=φ(ei1, ei2,…, eik )
para todos los valores ij=1,2,…,n, j=1,2,…, k

Enefecto, si uj∈E, uj =i=1nxjiei, y, por tanto,

φu1, …, uk=φi1=1nx1i1ei1, …ik=1nxkikeik, …=i1=1nx1i1…ik=1nxkikφei1, ei2,…, eik =i1, .., ik=1nx1i1…xkikφei1, ei2,…, eik

Corolario.- Si una forma multilineal se anula sobre todos las k-uplas formadas por vectores de una base (o cualquier sistema generador) de E, entonces es la forma multilineal nula.

2.2. FORMAS MULTILINEALES ALTERNADASDefinición.- Una forma multilineal φ:Ek→K se dice alternada si ∀i, j∈1, …, k, ∀u, v, uj∈E
φu1, …, u, …, v, …,uk=-φu1, …, v, …, u, …,uk,

es decir, el valor de la función cambia de signo cuando se intercambian los valores de dos cualesquiera de sus variables vectoriales.
Corolario.- Si φ:Ek→K es una forma multilineal alternada, entonces ∀u∈E,

φ…, u, …, u, …=0,
es decir, se anula siempre quese repita alguna de sus variables vectoriales.

No es difícil demostrar que, cuando el cuerpo de escalares es R o C, se cumple el recíproco del resultado anterior, es decir:

Proposición.- Toda forma multilineal que cumpla que φ…, u, …, u, …=0 ∀u∈ es alternada.

2. DEFINICION DE DETERMINANTE

Teorema.- Si (e1, …, en)es una base de E, para cualquierα∈K, existe una unica formamultilineal alternada φ de orden n sobre E tal que
φe1,e2, …, en=α
Demostración.- Es obvio que, si φ:En→K es multilineal y alternada, y puesto que al aplicársela a vectores repetidos el resultado es nulo, entonces φ queda caracterizada por los n! escalares

φeσ(1),eσ(2), …, eσ(n), ∀σ∈Sn,

es decir, por los valores de φ sobre todas las posibles permutaciones de los elementos de la base.
Pero, comotoda permutación es producto de transposiciones, y, debido a la alternancia, si τ es una transposición,
φeτ(1),eτ(2), …, eτ(n)=-φe1,e2, …, en

se tiene que, para cualquier permutación σ∈Sn

φeσ(1),eσ(2), …, eσ(n)=sgn(σ)φe1,e2, …, en

en donde sgnσ=-1N siendo N el número de transposiciones de cualquier descomposición de σ (todas las descomposiciones tienen la misma paridad).
Por lo tanto,concluimos que la forma multilineal alternada queda caracterizada por el único valor
φe1,e2, …, en
Corolario.- Existe una única forma multilineal alternada sobre(Kn)n que vale 1 sobre e1,e2, …, en siendo ejlos vectores canónicos de K.

Definición.- Se llama función determinante sobre K, y se denota por det, a la única forma multilineal alternada anterior.
Dada A∈Knxn, se llama determinante de...