Determinantes

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza
matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se
usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones (lineales), sino además en el
cálculo numérico, en la resolución de sistemasde ecuaciones diferenciales y de
derivadas parciales. Además las matrices también aparecen de forma natural en
geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
El álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin
embargo, puesto que muchas relaciones económicas pueden ser aproximadas
mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relacioneslineales,
esta limitación puede ser en parte evitada.
2.1 Matriz: definición
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos
en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Gráfico 2-1

⎡ a11 a12
⎢a
a 22
⎢ 21
.
A= ⎢ .
⎢
.
⎢ .
⎢am1 am2
⎣

a13
a 23
.
.
am3

... a1n ⎤
... a 2n ⎥
⎥
...
. ⎥
⎥
...
. ⎥
... amn ⎥⎦

Filas de la matriz A

Columnas de la matriz A

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =[aij], con i =1, 2,..., m; j =1, 2, ..., n.
Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota
la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de
la fila 2 y columna 5.

CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES

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Carlos Orihuela Romero, MSc

Matrices Iguales
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Sean las matrices A y B, donde:

⎡9

A(2x2)= ⎢
⎣ −3

a⎤
2⎥
⎦

⎡9

B(2x2)= ⎢
⎣ −3

a⎤
2⎥
⎦

Entonces

A=B

Análogamente
Entonces, C = D (Note que

⎡ 3 −2 0 ⎤
C(2x3) = ⎢⎥
⎣4 z 2⎦

⎡ 3 −2 0 ⎤
D(2x3) = ⎢
⎥
⎣4 z 2⎦

C y D no necesitan tener
una

forma

cuadrada

o

simétrica).

2.2 Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su
utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
2.2.1 Según la forma
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 ypor tanto
es de orden m x 1.

Ejemplo:

⎡3⎤
A ( 3x1) = ⎢ 4 ⎥
⎢ ⎥
⎢ −a ⎥
⎣ ⎦

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden
1x n. Es decir, A= (a11 a12 ... a1n). Por ejemplo: A (1x3 ) = [1 2

−3]

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es
decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadradaes de orden n, y no n x n
(aunque es lo mismo). Los elementos aij con i = j, o sea aij forman la llamada diagonal
principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal
secundaria.

CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES

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En la matriz

Carlos Orihuela Romero, MSc

⎡ 1 3 0⎤
A ( 3x3 ) = ⎢ −2 1 4 ⎥
⎢
⎥
⎢ 3 7 9⎥
⎣
⎦

Ladiagonal principal está formada por [ 1 1 9 ] y la diagonal secundaria por [ 0 1 3 ]
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se
obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de
At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la
definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es deorden n x m.

Ejemplo:

⎡3 8 9 ⎤
A ( 2x3 ) = ⎢
⎥
⎣ 1 0 4⎦

entonces

⎡3 1 ⎤
A ( 3x2 ) = ⎢8 0 ⎥
⎢
⎥
⎢9 4 ⎥
⎣
⎦
t

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aj= aj

Ejemplo:

⎡2 1
⎢
A = ⎢1 0
⎢ 3 −2
⎣

3 ⎤
⎥
−2 ⎥
7⎥
⎦

(Comprobar que A = At )

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si A = –At,...