determinantes

sa3.2 DFEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DETERMINANTE.
Históricamente la teoría de los determinantes precedió a la teoría de matrices, y muchos resultados familiares de la teoría de matrices fueron originalmente formulados en términos de determinantes; así por ejemplo el uso de los determinantes surgió de la identificación de patrones especiales que ocurren en la solución de sistemas de ecuacioneslineales.
Hoy día, la teoría de determinantes no juega un papel central en el álgebra lineal, pero hay ciertos aspectos en los que los determinantes ofrecen una interpretación más natural, o una prueba más sencilla de algunos resultados.

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DETERMINANTE.
Las funciones reales de variable matricial, son funciones tales que a una matriz cuadrada X se le asocia un número realf(x). ͢ Este número real asociado es el DETERMINANTE.
 El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n ,un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las barras no significan valor absoluto).

3.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:
1. El determinante de unamatriz A y de su transpuesta AT son iguales:

Det(A)=Det(AT)

EJEMPLO 1:

A= AT= →det(A)=40=det(AT)=40

B= BT=→det(B)= -7=det(BT)

C= CT=→det(C)= -14=det(CT)

D= DT=→ det(D)= 28 =det(DT)

E= ET=→ det(E)= -76=det(ET)

Debido a esta propiedad, casi todos los teoremas o propiedades acerca de determinantes que contienen la palabra “renglón” en sus proposiciones, son válidos cuando lapalabra “columna” se escribe en lugar de renglón.

2. Si todos los elementos de una fila, (columna) contienen un factor común, éste puede sacarse fuera del determinante:

→ x.

EJEMPLO 2:











3. Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, éste cambia de signo.

EJEMPLO 3:




















4. Si undeterminante tiene dos filas (o dos columnas) iguales, es igual a cero.

EJEMPLO 4:











5. Si en un determinante, se añade a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas el valor del determinante no varía.

6. Si un determinante tiene una fila o columna cuyos efectos son todos iguales a cero, el determinante es cero.

EJEMPLO 5:7. Si A es una matriz triangular, entonces su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

8. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igua al producto de los determinantes de cada una de las matrices.

Det (A.B)=det(A) . det(B)

9. .Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, eldeterminante es cero.

Si A= a simple vista el determinante es cero puesto que las dos primeras columnas son proporcionales entre sí.


EJEMPLO 6:













10. Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.

11. Si cambiamos una fila (o una columna) por la suma obtenida de esa fila más el producto deotra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía.

EJEMPLO 8:












12. Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varíe

13. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante. |A-1| = 1/ |A|

3.4 CÁLCULO DE DETERMINANTES POR PROPIEDADES.
CONDICIONES PARA QUE UN DETERMINANTE SEA CERO:

Teorema. Si A es una matriz cuadrada que tiene un renglón o columna compuestos exclusivamente de ceros, entonces el det(A)=o

Teorema. Si dos renglones o columnas son iguales.

Teorema. Un renglón o columna es múltiplo de otro renglón o columna.

Demostración. Puesto que cada...