Determinantes

Introducción
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.
En este caso estudiaremos, sobre todo, los determinantes de orden tres y superiores, los de orden superior se reducirán aéstos.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se llama menor complementario de un elemento al valor del determinante de orden que se obtiene al suprimir en la matriz la fila y la columna.












Determinantes
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices,que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.La historia de los determinantes, los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de unsiglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.
Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con elmatemático alemán Goofried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.
Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. Eldesarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocido por la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas. Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi(1804-1851). Fue con él con quien la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de las funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.




Determinantes de una matriz cuadrada

A cada matriz n−cuadrada A = (ai j) se le asigna un escalarparticular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o. Una tabla ordenada n ð n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

Determinantes deorden uno y dos

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: 16 = a11 Así, el determinante de una matriz 1 ð 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.

Ejemplo

Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(−3) = −3, det (3x+5) = 3x+5.


Determinantes de orden tres

Consideremos una matriz 3 ð 3arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue: a12 a21 a33 − a32 a23 a11.
Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
Ejemplo:
Calcular el valor del determinante:
17 = 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) = 44 + 4 + 15 = 63

El...