determinantes

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Método de Determinantes
Este método es de los más inmediatos1 , además de que nos ayuda desde el principio a reconocer
si un S.E.L. tiene solución única o no.
Para empezar definimos el concepto de determinante:
Determinante
Sean a, b, c, d números reales. El arreglo de números:
a
c

Definición
1

b
d

se utiliza para denotar al determinante y su valores igual a: a d − b c.
Entonces, por definición:
a
c

b
d

= ad−bc

Una forma de memorizar el concepto de determinante y cómo calcularlo consiste en observar que
multiplicamos las diagonales del arreglo de números, primero la que va de izquierda a derecha
(que es la manera como leemos) y de arriba hacia abajo (que nos arroja el primer producto: a d),
y después multiplicamos los otrosdos números que no habíamos considerado: bc y restamos este
producto del anterior.
En un S.E.L. podemos tener, por ejemplo:
ax + by=m
cx +dy= n
el cual se puede escribir en forma matricial2 :
a
c

b
d

m
n

Para obtener la forma matricial de un S.E.L. basta escribir el mismo S.E.L. sin las variables. Es
decir, escribimos solamente los coeficientes.
De aquí se definen 3 determinantes: El determinante principal:
∆p =

a
c

b
d

= ad−bc

m
n

b
d

= md−bn

 El determinante auxiliar en x:
∆x =

1 Descubierto por Gabriel Cramer (1 704 – 1 752), matemático suizo. Hay evidencia de que esta regla fue usada anteriormente por el Matemático Inglés Colin Maclaurin (1 689 – 1 746). [?]
2 En matemáticas, una matriz se define como un arreglo rectangular de números.El álgebra lineal es la rama de las
matemáticas que estudia estos objetos matemáticos, así como los vectores.

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 El determinante auxiliar en y:
∆y =

a
c

m
n

= an−mc

Para hacer más fácil las cosas, observa que en el determinante auxiliar de x hemos sustituido
los coeficientes de la variable x por el ladoderecho de las ecuaciones del S.E.L., y de manera
semejante, para el determinante auxiliar de y se han sustituido los coeficientes de la variable y por
los números m, n, y el determinante se ha calculado como se definió anteriormente.
A partir de los determinantes podemos encontrar la solución del S.E.L.:
ax + by=m
cx +dy= n
En este caso:

x

y

=

∆x
=
∆p

m b
n d
a b
c d

=md−bn
ad−bc

=

∆y
=
∆p

a m
c n
a b
c d

=

an−mc
ad−bc

Para dar evidencia de que esto es verdad, vamos a volver a resolver el siguiente S.E.L.:
Resuelve:

x + y = 10
x−y= 2

Ejemplo 1

• Primero encontramos el determinante principal:
1
1

∆p =

1
−1

= (1)(−1) − (1)(1) = (−1) − (1) = −2

• Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:
∆x =

10
2

1−1

= (10)(−1) − (1)(2) = (−10) − (2) = −12

• Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:
∆y =

1
1

10
2

= (1)(2) − (10)(1) = (2) − (10) = −8

• Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:

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x
y

∆x
−12
=6
=
∆p
−2
∆x
−8
=
=4
∆p
−2

=
=

• Y ya sabemos que la solución escorrecta3 .

Resuelve:

2x + y=6
x − 2y = 8

Ejemplo 2

• Calculamos primero el determinante principal:
2
1

∆p =

1
−2

= (2)(−2) − (1)(1) = (−4) − (1) = −5

• Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:
∆x =

6
8

1
−2

= (6)(−2) − (1)(8) = (−12) − (8) = −20

• Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:
∆y =

2
1

6
8

= (2)(8) − (6)(1) = (16) −(6) = 10

• Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:

x

=

y

=

∆x
−20
=4
=
∆p
−5
∆x
−10
=
= −2
∆p
−5

• Ahora vamos a verificar que la solución sea correcta:
2x+y = 6
x−2y = 8

⇒
⇒

2 (4) + (−2) = 6
4 − 2 (−2) = 8

La ventaja de usar este método consiste en que si el determinante principal es igual a cero, entonces podemos concluir inmediatamente que...