Determinantes

Determinantes


Matriz de Cofactores

Sea A una matriz cuadrada de orden n x n. El menor del elemento [pic] se denota por [pic] y se define como el determinante de la submatriz que se formaal suprimir la fila i y la columna j de la matriz A. El número [pic] se denota por [pic] y se llama el cofactor del elemento [pic].

[pic] = [pic]


Si A es una matriz cuadrada de orden n, y[pic] es el cofactor de [pic], entonces la matriz formada por los [pic] se denomina Matriz de Cofactores de A.

[pic]

La matriz transpuesta de la matriz de cofactores se denomina Matriz Adjunta deA y se denota por adj (A).
[pic]

Se puede hallar primero la transpuesta de A y luego los cafactores, encontrándose de esta manera la matriz adjunta de A, adj (A).


Propiedad Fundamentalde Matrices

Si a una matriz A se la multiplica por su adjunta, el resultado es igual al determinante de A por la matriz unitaria.


A . adj (A) = det (A) . I









MatrizInversa

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama matriz inversa de A, y se simboliza [pic], a la matriz que cumpla con la relación:

A . [pic] = I

Se establece:
1º). [pic](1)


2º). Por Propiedad Fundamental de matrices:

[pic] (2)


3º). De las expresiones (1) y (2), como los segundos miembros son iguales los primerostambién lo son, surge la siguiente expresión:


[pic]




La matriz A no debe ser singular, esto es [pic], es decir, la matriz debe ser inversible.


Propiedades de la Matriz Inversa1º). Si A y B son matrices inversibles del mismo orden o tamaño, entonces:

a) A . B es inversible

Un producto de matrices inversibles siempre es inversible.

b) [pic]

La inversa delproducto de matrices inversibles, es igual al producto, en orden invertido, de las inversas de las matrices factores.

2º). Si A es inversible, y [pic] es inversible, se tiene que: [pic]