Determinantes

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA

VLADIMIR ACORI FLORES

AYACUCHO
2015

Índice general

1. Determinantes

1

1.1. Determinantes. Definición y primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. La regla de Sarrus . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4. Relación entre la inversa y los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5. Breve historia de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

7

II

Cap´ıtulo

1

Determinantes
Introduciremos un nuevo concepto, determinante asociada a una matriz. Este concepto nos permite simplificar operaciones matriciales para el cálculo del rango y de la inversa de una matriz.
Historicamente, los determinantes precedían a las matrices, un hecho curioso a la luz de la forma como
se enseña el álgebra lineal en laactualidad, con las matrices antes que los determinantes. No obstante, los
determinantes surgen independientemente de las matrices en la solución de muchos problemas prácticos, y la
teoría de los determinantes estaba bien desarrollada casi dos siglos antes de que a la matrices se les otorgara
un valor de estudio como tal.



Recuerde que el determinante de la matriz 

a11

a12

a21

a22


 de orden 2es

det (A) = a11 · a22 − a12 · a21
Esta expresión se encontró por primera vez cuando se determinaron formas para calcular la inversa de una
matriz. En particular, se encontró que

A−1 = 

1.1.

a11

a12

a21

a22

−1



a
1
 22
=
a11 a22 − a12 a21
−a21

−a12
a11




Determinantes. Definición y primeros ejemplos

Si es una matriz de orden 2 × 2 el determinante de la matriz A, denotada pordet(A) ó |A|, es el número
det(A) = |A| =

a11

a12

a21

a22

= a11 · a22 − a12 · a21 ∈ R.

Ejemplo: Calcular determinantes de orden 2 es muy fácil, veamos:
a) |A| =

b) |B| =

−4

2

3

5

1

15

0

3

= −4 · 5 + 2 · 3 = −20 + 6 = −14

= 1 · 3 + 15 · 0 = 3 + 0 = 3

1

UNSCH 2015–I

Determinantes

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamentealgunos
conceptos.
Sea A matriz cuadrada de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de la matriz A, como
el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho
elemento aij , se representa por
 Mij .
−1

3

7





−2  calcular los menores complementarios de la fila 1 y columna 3.

3 5
0
Los menores complementarios de lafila 1 son:


Ejemplo: Para la matriz A = 


5

4

1. Menor complementario de -1: M11 =

2. Menor complementario de 3: M12 =

3. Menor complementario de 7: M13 =

4

−2

5

0

5

−2

3

0

5

4

3

5

= 0 + 10 = 10

= 0 − 6 = −6

= 25 − 12 = 13

Los menores complementarios de la columna 3 son:
Menor complementario de 7: M13 =

Menor complementario de -2: M23 =

Menor complementario de 0: M33 =5

4

3

5

= 25 − 12 = 13

−1

3

3

5

−1

3

5

4

= −5 − 9 = −14

= −4 − 15 = −19

Ejercicio: Obtener los restantes menores complementarios de los elementos de la matriz A.

Ligado a este concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el adjunto de un elemento aij de A como el número:
Aij = (−1)i+j · Mij
es decir, esel menor complementario correspondiente acompañado de un signo mas o menos dependiendo de
la fila y columna en la que se encuentre el elemneto en cuestión.
Por ejemplo, para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la fila 1 son:
1. Adjunto de -1: A11 = (−1)1+1 · M11 = 1 · 10 = 10 (coincide con el menor complementario).
2. Adjunto de 3: A12 = (−1)1+2 · M12 = −1 · −6 = 6 (menor...