Determinantes

´
Algebra
Lineal

Departamento de Ciencias Exactas

Contents
1 Determinantes

1

DEBER No 01
1

Determinantes
1. Considere la matriz B ∈ Mn, tal que:

 bii = x
, Calcule el Det (B)
a. B = [bij ]n , bij =
 b = 1 , si i = j
ij



b =x

 ii
b. Si B = [bij ]6 , bij =
bij = b
, si i ≥ j Calcule el Det (B)



 b = −b , si i ≤ j
ij

2. a.1. Considere una matriz invertible A de orden n; Cu´ales el determinante de la matriz
adj (A)
a.2. Considere una matriz idempotente A de orden n; Cu´al es el determinante de la matriz
A
b). Calcular el determinante:


6
2
1
0
5




 2
1
1 −2 1 




b.1. A =  1
1
2 −2 3  , R · (−24)




 3
0
2
3 −1 


−1 −1 −3 4
2


1
i 1+1




b.2. B =  −i 1
0 


1−i 0
1

1

Departamento de Ciencias Exactas

Universidad de las FuerzasArmadas Espe

M.Sc. Hern´an Aules M.Sc.

´
Algebra
Lineal

Departamento de Ciencias Exactas

1
−i

1

0

1−i 0

1

1−i

1+i
b.4.

i − 1 2 + 2i 3 + i
5−i

2+i

1

−1 − i

−1

1−i

0

1+i

1

−1 − i

−1

Universidad de las Fuerzas Armadas Espe

5+i

b.5

1 0

0

0 2 −1
b.6.

b.7.

i

0

−1

0

0

0 0

3

−2

0

1 0

0

2

0

0 1

0

0

−3

1

1

1

0

0

0

2

3

4

0

0

0

3

6

10 0

0

0

49

14 1

1

1

5 15 24 1

5

9

Departamento de Ciencias Exactas

b.3.

i 1+i

9 24 38 1 25 81
a3
b.8.

3a2

3a

1

a2 a2 + 2a 2a + 1 1
a

2a + 1

a+2

1

1

3

3

1

3. Hallar el valor de x en:

a.

x 1

x

x

0 x

x

1

1 x x+1 0

= 0; R · x = ± 12

x 0 x+1 x

2

´
Algebra
Lineal

Departamento de Ciencias Exactas

1+x

x

x

x

x

2+x

x

x

x

x

3+x

x

x

x

x

4+x

c)

1

1

1

1

x

5

−24

x2

25

4

16

=0

= 0.R.x = −2, x = 4, x = 5

x3 125 −8 64
x
d)

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Universidad de las Fuerzas Armadas Espe

b)

x+1 x+2
=0

x+3 x+4 x+5
x+6 x+7 x+8
1 x x x

e) A =

x 1 x x

=0

x x 1 x
x x x 1

f)

g)

0

0

0

x 4

0

0

0

1 x

x−1 x+2 3+x 5 5
x−1

1

−1

2 2

0

x+1

1

3 3

2

1

−1

4

x+1

−2

−5

−2

x+2

=0

=0

3

´
Algebra
Lineal

Departamento deCiencias Exactas

DEBER No 02
1

1

1

1

x

x2

1 x2

x

=0

5. Conociendo que:
a b

c
= 16

d e f
g h

i

Calcule la matriz inversa de A si:


d e f




A= a b c 


3g 3h 3i
6. Demostrar utilizando unicamente propiedades que:
a a a a
a)

a b

b

b

a b

c

c

a b

c d

= a (a − b) (c − b) (c − d)

bc a2 a2
b)

b2 ca b2
c2

c2

a c
c)

d)

cb ab ac
=

ab ca bc

ab
c

b

c a b

c

c

b a cb

c

ca bc ab

= (a − b)2 [(a + b)]2 − 4c2

c a

a

b

c

d

−b

a

d

−c

a

b

−b

a

−c −d
−d

c

4

Departamento de Ciencias Exactas

Universidad de las Fuerzas Armadas Espe

4. Resuelva la Ecuaci´
on:

´
Algebra
Lineal

Departamento de Ciencias Exactas

x a
e)

b x

a x x b
b x x a
a x

a

b

a+b

b

a+b

a

a+b

a

b

=0

g) Para qu´e valores de m y n, la matriz A tiene inversa?

A=

mn

n

n

n

m

n

n

n

n

m

n

n

n

n

m

7. Demu´estrece las igualdades que se indican, sin desarrollar los determinantes:
x+y y+z z+x
a)

b)

p+q

q+r

r+p

a+b

b+c

c+a

=2 p q r
a b

c

a+b a+c b+c

1 c b

a+c a+b b+c

= 2 (a + b + c) 1 b b

b+c a+b a+c

1 b a

a2 a bc
c)

x y z

b2

b ca

c2

c ab

a3 a2 1
=

b3

b2

1

c3

c2

1
a1 b1 c1

a1y1 + b1y2 a1x1 + b1x2 c1
d)

a2y1 + b2y2 a2x1 +b2x2 c2

=

y1 x1
a2 b2 c2
y2 x2

a3y1 + b3y2 a3x1 + b3x2 c3
a1 + b1x a1x + b1 c1
e)

a2 + b2x a2x + b2 c2
a3 + b3x a3x + b3 c3

a3 b3 c3

a1 b1 c1
=

a2 b2 c2

1 − x2

a3 b3 c3

8. Calcular el determinante y exprese el resultado en factores:

5

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Universidad de las Fuerzas Armadas Espe

f)

x b

´
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Departamento de Ciencias Exactas

1 bc + ad (bc)2+ (ad)2
1 ac + bd (ac)2 + (bd)2

9. Hallar el determinante de X, si: AT + B T (A − 2X)T = (AB)T − B




2 −1 3
− 21 25 1








48
A = 3I − B =  0
3 −1  , R · 5 , x =  1 52 − 12 




− 12 23 − 32
−1 1
2
10. Hallar el determinante de la matriz:


1+a
1
1




 1
1−a
1
1 
 , R · a2 b2
a) A = 


 1
1
1+b
1 


1
1
1
1−b


a3
3a2
3a
1


 2 2

 a a + 2a 2a +...