Determinanye

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Eligio Tavera Hernández
Pruebas de bondad de ajuste.

Prueba de Anderson-Darling
Dadas las observaciones (X1,. . ., Xn) independientes, con distribución F, deseamos probar la hipótesis nula H0: “F = F0”. En principio, la hipótesis alternativa será H: “F ≠ F0”, pero es posible que dentro de esta alternativa múltiple haya algunas distribuciones para las que nos interese especialmente que laprueba tenga una buena potencia.
A la hipótesis H0 se la llama hipótesis de ajuste de la distribución F0 al modelo del cual proviene la muestra. Las pruebas de H0 se llaman pruebas de ajuste.
A lo largo del Siglo XIX, los modelos aleatorios se volvieron cada vez más frecuentes y cada vez más necesarios para describir la naturaleza. Un modelo se consideraba adecuado en tanto no presentaraincoherencias evidentes con los resultados de la experiencia.
Recién en 1999 surgió la primera prueba de ajuste, a partir de la cual los científicos pudieron poner a prueba sus modelos e incluso seleccionar entre varios modelos propuestos para un mismo fenómenos, cuáles con adecuados y cuáles no lo son. Esa primera prueba es la llamada prueba χ2 de Pearson.

Generalidades sobre las pruebas de ajuste.Para decidir si se rechaza H0:“F = F0” a partir de la información dada por la muestra aleatoria simple X1,. . ., Xn de F, resulta natural estimar F por medio de la muestra, y comparar la estimación con F0.
El estimador de máxima verosimilitud de F es la distribución de probabilidades ƒ para la que, si Y1,. . ., Yn es una muestra de ƒ, entonces la probabilidad de que resulte {Y1,. . ., Yn} = {X1,. .., Xn} es máxima. Esta probabilidad es positiva sólo si ƒ tiene probabilidades p1,. . ., pn concentradas en X1,. . ., Xn, y vale n! ∏ni=1 pi, cuando las Xi(i = 1. . . , n) son todas diferentes.
El máximo de este producto, con la condición
∑ni=1 pi ≤ 1, se produce cuando todas las probabilidades son iguales: p1 =. . . = pn = 1/n.
Como consecuencia, ƒ es la distribución empírica Fn.
Cuando Fnes cercana a F0, no hay razones para rechazar H0. En cambio, cuando Fn dista mucho de F0, vamos a rechazar H0.
No debe extrañarnos entonces que las pruebas más utilizadas tengan como región crítica {(X1,. . ., Xn) : d(Fn, F0) > constante}, donde d es una distancia entre probabilidades, o una seudo - distancia, como suele llamarse a una función con las propiedades de una distancia, excepto laque establece que d(F,G) = 0 implica F = G.
Las pruebas que incluimos en las secciones siguientes resultan de elegir adecuadamente d. La primera de ellas ha sido analizada en §??. Las otras dos han sido presentadas en §??, en el marco de aplicaciones del proceso empírico, y ahora las estudiaremos con mayor detenimiento.

Prueba de Anderson-Darling
Propósito:
Test for Distributional AdequacPrueba de Suficiencia distributivos
La prueba de Anderson-Darling ( Stephens, 1974 ) se utiliza para probar si una muestra de datos provienen de una población con una distribución específica. It is a modification of the Kolmogorov-Smirnov (KS) test and gives more weight to the tails than does the KS test. Se trata de una modificación de la de Kolmogorov-Smirnov (KS) prueba y le da más peso a lascolas que hace la prueba de KS. The KS test is distribution free in the sense that the critical values do not depend on the specific distribution being tested. La prueba de KS es la distribución gratuita en el sentido de que los valores críticos no dependen de la distribución específica se está probando. The Anderson-Darling test makes use of the specific distribution in calculating critical values.La prueba de Anderson-Darling, hace uso de la distribución específica para el cálculo de valores críticos. This has the advantage of allowing a more sensitive test and the disadvantage that critical values must be calculated for each distribution. Esto tiene la ventaja de permitir una prueba más sensible y la desventaja de que los valores críticos deberán calcularse para cada distribución....
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