diagonalizaxion de matrices

Diagonalización de matrices

Dada una matriz cuadrada, ver si existe otra matriz semejante a ella que sea diagonal. Recordemos que dos matrices cuadradas de orden n, A y D, se dice que son semejantes cuando existe otra matriz cuadrada de orden n, P, invertible, tal que
A = PDP−1

Dos matrices son semejantes si y sólo si van asociadas a un mismo endomorfismo. Así si las matrices anteriores Ay D son semejantes existirá un endomorfismo f de Rn y bases B y B0 del espacio tales que

A = MB→B(f) y D = MB0→B0 (f)

Por tanto el problema de la diagonalización puede enfocarse desde el punto de vista de endomorfismos: dado un endomorfismo f de Rn se trata de ver si existe una base del espacio respecto de la cual la matriz asociada sea diagonal. Realmente ambos problemas son equivalentes,pues en primer lugar dado:
f : Rn → Rn
podemos tomar como matriz
A = MB→B(f)
la matriz asociada a cierta base B de Rn, y viceversa, dada A podemos tomar f de modo que se cumpla la misma relación anterior
A = MB→B(f)
En tal caso, puede comprobarse que una matriz es semejante a A si y sólo si va asociada a f respecto de alguna base de Rn.

I. Valores propios y vectores propios

Sea A unamatriz cuadrada de orden n, λ un escalar del cuerpo y v un vector-columna no nulo del espacio vectorial Rn. Si se cumple que
Av = λv
entonces se dirá que λ es un valor propio de A y que v es un vector propio de A. Es más se dirá que λ es un valor propio de A asociado al vector propio v, y que v es un vector propio de A asociado al valor propio λ.
Sea
f : V → V
un endomorfismo de un espaciovectorial V , λ un escalar del cuerpo y v un vector no nulo del espacio vectorial. Si se cumple que
f(v) = λv
entonces se dirá que λ es un valor propio de f y que v es un vector propio de f. Es más se dirá que λ es un valor propio de f asociado al vector propio v, y que ves un vector propio de f asociado al valor propio λ.
1.1.- Propiedades:
a) Observemos que mientras un vector propio v debeser no nulo (el vector 0 no se considera vector propio) un valor propio λ sí puede ser nulo (el escalar λ = 0 sí puede ser valor propio). Así que habrá algunas matrices (y endomorfismos) que sí tengan el valor propio 0.

b) Todo vector propio v va asociado a un único valor propio λ (se dirá que λ es el valor propio asociado al vector propio v).

c) Dado un vector propio v asociado al valorpropio λ y un escalar no nulo α se tiene que el vector αv es también un vector propio y además va asociado al mismo valor propio λ. En general se cumple que dados vectores propios v1, v2, ..., vk asociados al mismo valor propio resulta que toda CL no nula de ellos α1v1 + α2v2 + ... + αkvk es también un vector propio con el mismo valor propio asociado λ.

Ejemplo 1.1
Comprobar que

es un vectorpropio de la matriz




y determinar cuál es su valor propio asociado.

Como



se tiene que v es un vector propio de A asociado al valor propio 5.

Sea f el endomorfismo de R3 cuya expresión analítica es
f(x, y, z) = (x + 2y − z, 3y, 4x − y − 4z)
Comprobar que v = (1, 0, 1) es un vector propio del endomorfismo y hallar el valor propio correspondiente.

Como
f(v) = f(1, 0, 1)= (0, 0, 0) = 0 • (1, 0, 1) = 0 • v
se tiene que el vector (1, 0, 1) es un vector propio de f asociado al valor propio 0.

II. Polinomio característico

Sea λ un escalar del cuerpo y A una matriz cuadrada de orden n e I la matriz identidad de ese tamaño. Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si existe un vector no nulo v ∈ Rn tal que Av = λv. Ahora bien la igualdad anterior equivale aAv − λv = 0 y a Av − λIv = 0, y ésta a su vez a (A − λI)v = 0, lo cual significa que v ∈ ker(A − λI). Así λ es un valor propio de A si y sólo si ker(A−λI) 6= 0. Y como dim ker(A−λI) = n−r(A−λI), lo anterior equivale a que r(A−λI) < n.

Finalmente esta última condición puede traducirse en que |A − λI| = 0. En definitiva obtenemos que
λ ∈ R es un valor propio de la matriz A si y sólo si |A −...