Dibujo

UNIVERSIDAD DE LA SERENA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPTO. DE MATEMÁTICA

ESPACIOS VECTORIALES ( ING.) – 2º SEMESTRE 2011

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Definición 1 Se llama grupo a un conjunto no vacío V provisto de una operación:
+ : V x V  V
(v,w)  v + w
que satisface los siguientes axiomas:
G0 u + v V,  u , v  V.
G1 ( u + v) + w = u + ( v + w ),  u , v , w  V ( Asociatividad).
G2 Existe elemento neutro en V, denotado por 0V o simplemente 0 tal que:
v + 0 = 0 + v = v,  v  V.
G3 Para cada v V existe un elemento en V, llamado opuesto de v, denotado por -v tal que v + (-v) = 0 = (-v) + v.
Denotaremos por( V, + ) al grupo.
Si ( V, + ) es un grupo y satisface además:
G4 u + v = v + u,  u , v  V ( Conmutatividad ).
Entonces ( V, + ) se llamará grupo abeliano o conmutativo.

Definición 2 Se dice que V es un espacio vectorial sobre el cuerpo IK, y se denota VK ( o simplemente V ) , si ( V, + ) es un grupo abeliano provisto de unaoperación
: IK x V  V
(  , v )  v
llamada producto por escalar, la cual satisface los siguientes axiomas:
E0 v  V,    K,  v  V
E1 (v) = ()v,   ,   IK,  v V.
E2 ( + )v = v +  v ,   ,   IK,  v  V.
E3 (u + v) = u + v,    IK,  u , v  V.
E4 1v = v  v  V, 1  IK elementoneutro para la multiplicación.
Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.

Proposición 3 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Entonces:
a) El neutro aditivo 0V es único.
b) Para cada v  V, el opuesto aditivo –v es único.
c) 0V = 0V ,    IK
d) 0K v = 0V,  v  V
e) (-1) v = - v ,  v  V.

Definición 4 Sea V espaciovectorial sobre IK, y u , v  V.
Se define u – v = u + (-v).

GUIA DE EJERCICIOS
1.- En IRn se definen las operaciones: X  Y = X  Y ,   X =   X ,
donde X = ( x1, ..., xn )  IRn, Y = ( y1, ..., yn )  IRn ,   IR y las operaciones del segundo miembro en la definición anterior son las usuales. ¿Qué axiomas de espacio vectorial se cumplen conestas operaciones?.
2.- Sea V = IR2 y K = IR el cuerpo de números reales. Se define
( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) = ( x1 + y1 , 0 )
 ( x1 , x2 ) = ( x1 , 0 ) ,   K.
Determine si V con estas operaciones es un espacio vectorial sobre K.
3.- Demuestre que V = { a + b / a, b  Q  es un espacio vectorial sobre Q. Demuestre, además que Vcon la suma y producto usual en IR es un cuerpo.
4.- Sea V = { u  IR / u  0 . Definamos en V las siguientes operaciones:
u  v = uv ( producto usual en IR )
  u = u ,   IR.
¿ Es V un espacio vectorial sobre IR, con estas operaciones ?







5.- Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo K, v , w  V y   K. Demuestre lassiguientes propiedades usando los axiomas de espacio vectorial.
a) – (v ) = v
a b)  ( v  w ) = v  w
6.- a) Demuestre que el conjunto C2 es un espacio vectorial sobre IR.
b)Demuestre que el conjunto de matrices Mm x n(C) es un espacio vectorial
sobre IR.
7.- Sea V = IR+ x IR+ sobre IR , definamos en V las siguientes operaciones :
( x1 , x2 ) (y1 , y2 ) = ( x1x2 , y1y2 ) y ( x1 , x2 ) = ( x1 , x2 ) .
¿ Es V espacio vectorial sobre IR?

SUBESPACIOS VECTORIALES

Definición 5 Sea V un espacio vectorial sobre IK, un subconjunto no vacío S de V se llama subespacio vectorial de V o simplemente subespacio de V si S es un espacio vectorial sobre K con las operaciones adición y producto por...