diedricos

11

3

Grupos di´
edricos

A continuaci´
on vamos a estudiar un subgrupo del grupo sim´etrico que tiene una
presentaci´on geom´etrica cl´asica: el grupo de las simetr´ıas de un pol´ıgono regular
de n lados.
Definici´
on 3.1 Se dice grupo di´edrico de grado n, (n ≥ 3) al subgrupo Dn de Sn
generado por el n-ciclo c = (1, 2, . . . , n) y la permutaci´
on
σ=

1 2
1 n

3
n−1

4
n−2

···
i
··· n − 1
···n + 2 − i ···
3

n
2

Dn =< c, σ >
Observaci´
on 3.2 Este grupo tiene diferentes presentaciones. La m´
as cl´asica es
el grupo de las simetr´ıas de un pol´ıgono regular de n lados; equivalentemente, se
trata del subgrupo de Gl(2, R) generado por las matrices
− sin α
cos α

cos α
sin α

,α =

2π
n

1
0

0
−1

Asimismo puede verse como el subgrupo de Gl(2, C) generado por las matrices
cos α + i sinα
0

0
cos α − i sin α

,α =

2π
n

0
1

1
0

Las siguientes notas tratan de justificarlo.
Teorema 3.3 Sea n ≥ 3; si G =< x, y > con o(x) = n, o(y) = 2, yxy = x−1
entonces,
G = {1, x, x2 , . . . , xn−1 , y, xy, x2 y, . . . , xn−1 y}
un grupo con 2n elementos.
Demostraci´
on: Notemos que
xk y j = xr y s =⇒ xk−r = y s−j
Por tanto, xk−r = 1 = y s−j ´
o
xk−r = y =⇒ xk−r+1 = xy = yx−1 = xk−r x−1 =xk−r−1 =⇒ x = x−1 =⇒ o(x) = 2
que contradice n ≥ 3.
De esta manera, n | k − r, 2 | s − j. Luego k ≡ r mod n y j ≡ s mod 2. Por tanto,
G contiene, al menos, los 2n elementos de
{1, x, x2 , . . . , xn−1 , y, xy, x2 y, . . . , xn−1 y}
Rec´ıprocamente, si z ∈ G,
z = xr1 y s1 · · · xrk y sk

rj = 0, . . . , n − 1

sj = 0, 1

12

TEORIA DE GRUPOS

Puesto que yxy = x−1 ,
z=

xk y
xk

si
si

sj
sj

es
es

imparpar

y se tiene
G = {1, x, x2 , . . . , xn−1 , y, xy, x2 y, . . . , xn−1 y}
Corolario 3.4 El grupo di´edrico Dn cumple
i) o(c) = n, o(σ) = 2 y σcσ = c−1 .
ii) |Dn | = 2n.
iii) Si G =< x, y > con o(x) = n, o(y) = 2, yxy = x−1 entonces, G ∼
= Dn .
Demostraci´
on: El primer item es consecuencia directa de la descomposici´on
σ = (2, n)(3, n − 1) · · · (i, n − i + 2) · · · (k, n − k + 2)
donde k = En+1
2

ya que entonces,
σcσ = (1, n, n − 1, . . . , 3, 2) = cn−1 = c−1

El segundo item es consecuencia directa del primero y el teorema.
Para el tercero, sea f : Dn −→ G dado por f (ck σ j ) = xk y j . Por el teorema, f
es una aplicaci´
on biyectiva y, debido a las relaciones id´enticas que cumplen los
generadores de ambos grupos, es claro que f es homomorfismo.
Observaci´
on 3.5 Es cueti´on demultiplicar matrices comprobar que los subgrupos citados de Gl(2, R) y Gl(2, C) satisfacen las relaciones de 3.4.iii) y son isomorfos a Dn .
Definici´
on 3.6 Se dice simetr´ıa de un pol´ıgono regular de n lados a un movimiento
del plano que permute sus v´ertices.
Lema 3.7 Un movimiento es una simetr´ıa de un pol´ıgono regular de n lados si y
s´
olo si el movimiento transforma el pol´ıgono en s´ımismo.
Demostraci´
on:
=⇒: Dado un lado del pol´ıgono, sus v´ertices son otros dos v´ertices y por distancias
ser´an consecutivos; puesto que un movimiento es afinidad conserva las razones
simples y los puntos del lado origen se transforman en los del lado imagen.
⇐=: Rec´ıprocamente, dados dos v´ertices consecutivos el lado que forman se transforma en un segmento de la misma medida, todos cuyos puntospertenecen al
pol´ıgono, luego es un lado del pol´ıgono. Por distancias, las im´
agenes de los v´ertices
del lado antiguo son los v´ertices del lado nuevo. Que se obtiene una permutaci´
on
de v´ertices es consecuencia de que los movimientos son aplicaciones biyectivas.
Corolario 3.8 Las simetr´ıas de un pol´ıgono regular de n lados son un subgrupo
del grupo af´ın del plano, que es isomorfo a Dn .Se dice grupo del pol´ıgono de n
lados; grupo del tri´
angulo, del cuadrado,. . .

Grupos di´edricos

13

Demostraci´
on:
Dadas dos simetr´ıas del pol´ıgono, su composici´on es un movimiento, que permutar´
a
sus v´ertices luego es una simetr ´ıa; por otro lado, el movimiento inverso de una
simetr´ıa permuta nuevamente los v´ertices, y es otra simetr´ıa. En consecuencia, la
primera afirmaci´...