Diferencia Central

Objetivo.
Se presentara el método de aproximación por diferencia central, hacia delante y hacia atrás , basándose en la serie de Taylor además se expondrán las razones del por que es mas preciso utilizar diferencias centrales .
Diferenciación numérica.
La diferenciación numérica o aproximación por diferencias , se utiliza para evaluar las derivadas de una función por medio de sus valoresdados en los puntos de una retícula.
Para ilustrar la diferenciación numérica, consideremos una función f(x) como lo muestra la siguiente figura.

Supongamos que se desea evaluar la primera derivada de f(x) en x=x0 .si se conocen los valores de f en x0-h , x0, x0+h donde h es el tamaño del intervalo entre dos puntos consecutivos del eje x , entonces se puede aproximar f´(x0).estas tres aproximaciones se llaman respectivamente diferencias hacia adelante , hacia atrás y central.
Existen tres tipos de enfoques para obtener aproximaciones por diferencias. El primero se basa el desarrollo de la serie de TAYLOR de la función alrededor de un punto de la retícula, el segundo utiliza los operadores de diferencia y el tercero deriva los polinomio de interpolación.Ventajas y desventajas de cada método.
Método de obtención. | Ventajas | Desventajas |
Desarrollo de TAYLOR. | Los términos del error se obtienes en forma explicita .se puede aplicar a retículas no uniformes. | Sólo se puede obtener una fórmula a la vez |
Operador de diferencias. | Bastante similaridad entre las derivadas y las aproximaciones por diferencias. | Necesita deldesarrollo de Taylor para analizar el error. |
Derivación de polinomio de interpolación. | Se pueden obtener, en forma sistemática. muchas fórmulas de aproximación por deferencias | Difícil de aplicar e retículas no uniformes. |

Obtener la derivadas de la funciones puede ser tarea bastante complicada, especialmente cuando no puede despejarse la variable independiente . A esto hay queañadir que la derivada requiere ser calculada repetidas veces para encontrar las raíces de ecuaciones.
En otras ocasiones no se tiene la función implícita para poder hallar la derivada correspondiente sino que se pose una serie de datos en forma de tabla como ocurre típicamente en mediciones experimentales por ejemplo:
X | y |
1.8 | 10.589841 |
1.9 | 10.58794125 |
2.0 | 11.5894 |2.1 | 11.897412 |

Para resolver este y otro problemas en necesario recurrir a la derivación numérica.

Comenzaremos a obtener las formulas para la diferenciación.
Sea un punto arbitrario en un intervalo cerrado [a,b] y una función f , se requiere aproximar f´( x) . Usando la definición de derivada , puede pensarse razonablemente que:
(1)

Considerandouna h suficientemente pequeña . pero ahora también es de suma importancia conocer el error asociado a esta aproximación para ello es necesario recurrir a las series de potencia ya que es equivalente a la diferenciación de una interpolación y conduce exactamente a los mismos resultados .para una derivada de orden p el mínimo numero de datos necesarios para obtener una aproximaciónpor diferenciación es p+1 (para la primera derivada es necesario contar con al menos dos puntos )
Mediante la utilización de la serie de Taylor para utilizando y los valores de en todos los puntos distintos de xi tenemos:

(2)
Utilizando solo los primeros dos términos y despejando tenemos:
(3)
Donde elsegundo termino es la representación de error por dicha aproximación creado por el truncamiento de la serie del cual “x” determina que se trata de un punto definido dentro del intervalo [a,b] , en su totalidad la formula empresa aproximación por diferencias hacia adelante.

De forma similar se obtiene para la diferenciación hacia atrás y se obtiene.

Tenemos la serie de Taylor para (i – 1):...