Diferenciabilidad De Funciones de Varias Variables

TEMA 6. DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES

Derivada direccional y derivadas parciales.
Sea f : A ⊂ 2 → siendo A = B((a, b), r) y sean (x0 , y0 ) ∈ A, v = (v1 , v2 ) ∈
v = (0, 0). Llamaremos Derivada de f en (x0 , y0 ) seg´n v a:
u
Dv f (x0 , y0 ) =

2

,

∂f
f ((x0 , y0 ) + t(v1 , v2 )) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
t→0
∂v
t

siempre y cuando, dicho l´ımite exista.
Una clase particular de derivadas seg´n vectores son las llamadas Derivadas
u
parciales, obtenidas al calcular las derivadas de una funci´n seg´n los vectores
o
u
(1, 0) y (0, 1).
Sea f : A ⊂

2

→

siendo A = B((a, b), r) y sea (x0 , y0 ) ∈ A

1. Diremos que f es derivable parcialmente con respecto a la primera variable
en el punto (x0 , y0 ) si existe el l´
ımite
f((x0 , y0 ) + t(1, 0)) − f (x0 , y0 )
f (x0 + t, y0 ) − f (x0 , y0 )
= lim
t→0
t→0
t
t

lim

que denotaremos
∂f
(x0 , y0 ) = D1 f (x0 , y0 ) = ∂x f (x0 , y0 )
∂x
2. Diremos que f es derivable parcialmente con respecto a la segunda variable
en el punto (x0 , y0 ) si existe el l´
ımite
f (x0 , y0 + t) − f (x0 , y0 )
f ((x0 , y0 ) + t(0, 1)) − f (x0 , y0 )
= lim
t→0
t→0
t
t

limque denotaremos
∂f
(x0 , y0 ) = D2 f (x0 , y0 ) = ∂y f (x0 , y0 )
∂y

1

Diferenciabilidad. Regla de la cadena
Sea f : A ⊂ 2 → siendo A = B((a, b), r) y sea (x0 , y0 ) ∈ A. Diremos que f es
diferenciable en (x0 , y0 ) si existen todas las derivadas parciales de f en (x0 , y0 )
y adem´s,
a
f ((x0 , y0 ) + (h1 , h2 )) − f (x0 , y0 ) −
(h1 , h2 )
(h1 ,h2 )→(0,0)
lim

donde

(f(x0 , y0 )) (h1 , h2 )

=0

∂f
∂f
(x0 , y0 ), (x0 , y0 ) , que se denomina Gradiente de f
∂x
∂y
(f (x0 , y0 )) (h1 , h2 ) es el producto escalar.

(f (x0 , y0 )) =

en (x0 , y0 ) y

Se verifica que si f es diferenciable en (x0 , y0 ) entonces f es derivable en (x0 , y0 )
seg´n cualquier v = (v1 , v2 ) = (0, 0) y adem´s Dv f (x0 , y0 ) = (f (x0 , y0 )) (v1 , v2 )
u
a
Lageneralizaci´n del gradiente para el caso de los campos vectoriales se hace
o
a trav´s de la Matriz de Jacobi.
e
Dada f : A ⊂ n → m , f = (f1 , . . . , fm ), una aplicaci´n definida en la bola
o
abierta A y sea (x01 , . . . , x0n ) ∈ A. Si existen todas las derivadas parciales de
f en (x01 , . . . , x0n ) definimos la matriz de Jacobi de f en x0 = (x01 , . . . , x0n )
mediante


∂f1
∂f1
∂f1
∂x1 (x0 ) ∂x2 (x0 ) . . . ∂xn (x0 ) 






 ∂f2

∂f2
∂f2

(x0 )
(x0 ) . . .
(x0 ) 
 ∂x1

∂x2
∂xn

J(f (x0 )) = 




.
.
.
.
.
.


.
.
.


 ∂fm

∂fm
∂fm

(x0 )
(x0 ) . . .
(x0 ) 
 ∂x1

∂x2
∂xn
En estas condiciones se verifica que si f es diferenciable en x0 entonces f es
derivable en x0 seg´n cualquier v = 0 y adem´s
ua
Dv f (x0 ) = J(f (x0 )) v

2

Adem´s se verifican las siguientes propiedades: Sean f, g : A ⊂ n → m ,
a
f = (f1 , . . . , fm ), aplicaciones definidas en la bola abierta A y diferenciables en
vecx0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ A, y sea λ ∈ , entonces:
1. Si f es diferenciable en x0 entonces f es cont´
ınua en x0
2. Si existen todas las derivadas parciales de f en x0 y son cont´
ınuas enx0 ,
entonces f es diferenciable en x0
3. (f + g) es diferenciable en x0 y adem´s J((f + g)(x0 )) = J(f (x0 )) + J(g(x0 ))
a
4. λ f es diferenciable en x0 y adem´s J((λ f )(x0 )) = λ J(f (x0 ))
a
Pero, adem´s (Regla de la Cadena), si f : A ⊂ n → m y g : B ⊂ m → p
a
tales que f (A) ⊂ B y f , difeneciable en x0 ∈ A y g es diferenciable en y0 =
f (x0 ) ∈ B entonces (g ◦ f ) es diferenciableen x0 ∈ A y
J((g ◦ f )(x0 )) = J(g(f (x0 ))) J(f (x0 ))
Derivadas de orden superior.
Sea f : A ⊂

n

→

un campo escalar definido en la bola abierta A.

1. Si existe Di f (x) ∀i = 1, . . . , n ∀x ∈ A y Di f es cont´
ınua ∀i = 1, . . . , n, diremos
1
que f es una aplicaci´n de clase uno en A, f ∈ C (A).
o
2. Sea Di f : A ⊂ n →
Si para todo i = 1, . . . , n existe Dj (Di f )(x),...