Funciones de varias variables”

.1 Definición de una función de 2 variables

Una función f de 2 o varias variables independientes, básicamente es una extensión de la definición típica de la función.
Se dice entonces que una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un numero real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el dominio de f y su imagen esel conjunto de valores que toma f es decir
{(f(x,y) )/((x,y))∈D}
A veces escribimos z=f(x,y)para ser explicito el valor tomado por f en un punto (x,y). las variables x,y son variables independientes y z es variable dependiente.
Para que nos quede mas clara la definición de dos variables, consideremos los siguientes casos de aplicación:
La temperatura t en un punto de la superficie terrestreen cualquier tiempo depende de la longitud x y la longitud y del punto. Podemos considerar que t es una función de las dos variables x y y. Indicamos la dependencia funcional al escribir t=f(x,y).

4.2 Grafica de una función de dos variables

Si una función f esta dada por una formula y no se especifica su dominio, entonces el dominio de f se entiende que es el conjunto de todos los pares(x,y) para las cuales la expresión dada es un conjunto real bien definido.
Antes de graficar una función de dos variables iniciamos conociendo como se genera una ecuación de dos variables o más variables; considerando los siguientes casos.

Ejemplo:
1. Un estanque mide 30 m de profundidad, 200 m de diámetro y esta infestado de algas. Suponer que la densidad de las algas en el punto z metros bajola superficie, x metros al este y y metros al norte del centro de la superficie del estanque, se calcula mediante la fórmula:
f(x,y,z)=1/10 (50+√(x^2+y^2 ))(30-z)

Encuentre una función que representa la superficie del estanque y otra que representa la oportunidad
Considerando z=10
Superficie: f(x,y,z)=1/10 (50+√(x^2+y^2 ))(30)
Profundidad: f(x,y,z)=1/10 (50+√(x^2+y^2 ))(30-10)
4.3 Curvasy superficies de nivel

CURVAS DE NIVEL
Hasta aquí tenemos dos métodos para visualizar funciones:
Diagramas sagitales y graficas. Un tercer método, empleado por quienes hacen mapas, es un campo de contorno, en el que se unen puntos de elevación constante para formar curvas de contorno o curvas de nivel.
Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con ecuacionesf(x,y)= k, donde k es una constante (que pertenece ala imagen de f).
Una curva de nivel f(x,y)=k es el conjunto de los puntos del dominio de f en donde f toma un valor dado k, en otras palabras muestra donde la grafica de f tiene altura k.
SUPERFICIES DE NIVEL
Las superficies de nivel son las superficies con ecuaciones f(x,y,z) se mueve a lo largo de una superficie de nivel el valor de f(x,y,z)permanece fijo.

4.4 Límites y continuidad

Definición de límite de una función de dos variables.
Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b)
Entonces decimos que el límite de f (x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos: Lim f (x,y) =L
(x,y) (a,b)

Ejemplos:

Encuentre el límite, si existe, o demuestre que el límite no existe. 1.-lim┬((x,y) (5,-2))⁡〖(x^5+〖4x〗^3 y-〖5xy〗^2)〗 〖=5〗^5+4〖(5)〗^3-(2)-5(5) 〖(-2)〗^2=
2.- lim┬((0,0))⁡( x^2/( x^2+y^2 ))= 0^2/(0^2+0^2 )=indefinido no existe limite.
4.-lim┬((3,0,1))⁡〖e^(-xy) sin⁡〖(π z/2)= e^(-3(0) ) sin⁡〖π z/2=e^0 sin⁡〖π/2=(1)(1)=1〗 〗 〗 〗

CONTINUIDAD
Unafunción f de dos variables se denomina continua en (a,b) si:
lim┬((x,y) (a,b))⁡f (x,y) = (a,b)
Ejemplos:
1.- ¿ en donde es continua la función f (x,y) = (x^(2-) y^2)/(x^2 〖+y〗^(2 ) )
D= { (x,y) I (x,y) ≠0}
2.- f (x,y) x+3y^2=2+3(1)=5
(x,y) (2, 1)
3.- f (x,y)=e^(√xy= e^(√(0)(0)) )=e^(√0)=e^0=1
(x,y) (0, 0)

4.5 Definición de derivadas parciales, de funciones de 2...