DIFERENCIAL DE FUNCIONES VECTORIALES

UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DIFERENCIACIÓN
DE FUNCIONES VECTORIALES

Ing. Jesús J. Jiménez G.

Ing. Enrique V. Flores C.
Valencia, febrero 2005

UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DIFERENCIACIÓN
DE FUNCIONES VECTORIALES

Trabajo de ascenso presentado ante el Ilustre Consejo dela Facultad de Ingeniería de la Universidad de
Carabobo por el Profesor Jesús J. Jiménez G. y el Profesor Enrique V. Flores C. para ascender en el escalafón
del Personal Docente y de Investigación de la Universidad de Carabobo a las categorías de Profesor ASOCIADO
y Profesor AGREGADO respectivamente.

Ing. Jesús J Jiménez G.

Ing. Enrique V. Flores C.
Valencia, febrero 2005

Introducción
Elcontenido programático vigente de la asignatura Funciones Vectoriales, adscrita a la
Cátedra de Funciones Vectoriales del Departamento de Matemática de la Facultad de
Ingeniería de la Universidad de Carabobo, se distribuye en los siguientes temas: Límites
y Continuidad; el Diferencial, Derivada Direccional, Función Compuesta, Función
Inversa y Función Implícita; Extremos y Extremos Condicionados;Integrales Múltiples;
Integrales de Línea y de Superficie. De acuerdo al Pensum de Estudios Vigentes, se
dispone de 18 semanas de clase de cuatro horas semanales para el desarrollo de todos
estos temas.
Los textos que recomienda la Cátedra de Funciones Vectoriales, realizados en la
Universidad de Carabobo no se publican en la actualidad, y los textos que nos ofrecen
las editoriales tienen costos muyelevados. Además la presentación de los contenidos de
los textos no siempre abarca los temas requeridos por la asignatura o el orden del
programa de ésta.
La necesidad de contar con textos que faciliten el acceso de los estudiantes cursantes de
la asignatura Funciones Vectoriales en el aspecto físico y económico, establece la
intención de la Cátedra de generar los textos para satisfacer estanecesidad.
Adicionalmente el lenguaje con que se muestran los conceptos, la cantidad de ejemplos
y el énfasis en aquellos aspectos donde el docente de la Cátedra detecta que el
estudiante falla con frecuencia, nos lleva a participar en la elaboración de los textos que
puedan cubrir o mitigar las necesidades planteadas.
El presente trabajo tiene como finalidad colaborar en llenar el vació existente enla
Cátedra de Funciones Vectoriales, para lo cual se presenta como una alternativa para el
estudiante y/o el profesor de esta asignatura. El desarrollo del trabajo abarca los temas:
El Diferencial, Derivada Direccional, Función Compuesta, Función Inversa y Función
Implícita en concordancia con el programa de la asignatura vigente; dejando los temas
restantes para que sean desarrollados por otrosprofesores del Departamento de
Matemática de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo y en acuerdo
con la Cátedra.
Para la utilización de este trabajo se requiere haber aprobado las asignaturas Geometría
Analítica, Análisis Matemático I y Análisis Matemático II, y Álgebra Lineal de los
Pensa de estudios de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo, o sólidos
conocimientosde geometría, derivación, integración y de álgebra lineal.
El trabajo consta de tres capítulos, el Capítulo I: El Diferencial, el Capítulo II:
Derivada Direccional y el Capítulo III: Función Compuesta, Función Inversa y
Función Implícita.

2

1. Derivada Parcial
1.1. Derivada de una función f : U   → 
Sea f : U   →  una función definida en el intervalo [a,b] ; la derivada de f en
x0(a,b)se denota f ´(x0) y se define:
f  (x 0 ) 

lim f(x 0  t)  f(x 0 )
(1)
t 0
t

siempre que el límite exista.
En (1), el numerador representa el incremento de f entre x0 y x0 + t, y el denominador (t)
representa el incremento de la variable independiente. El cociente expresa la razón de
cambio promedio de f entre x0 y x0 + t, y su límite cuando t → 0 representa la razón de
cambio instantáneo...