Diferencial total

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INCREMENTO Y DIFERENCIALES

Para una función de una variable [pic], definimos el diferencial de y como

[pic]

En esta definición dx es una variable independiente, es decir, dx puede tomarcualquier valor diferente de cero. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones de las diferenciales escogemos dx pequeño y consideramos tal elección como [pic].

Interpretación geométrica

Sea Pun punto de la gráfica con coordenadas [pic]; si se incrementa el valor de x, obtenemos Q, otro punto en la gráfica con coordenadas [pic]. El cambio correspondiente en el valor de y es

[pic]Incremento de y

una de las aplicaciones de las diferenciales consiste en calcular de manera aproximada, este cambio, es decir:

(y ( dy

y estos valores de dy y (y son tanto más próximoscuanto más cerca de cero esté dx ( o (x)

La pendiente de la recta tangente en P es la derivada [pic]. Por lo tanto, dy representa el cambio en altura de la recta tangente, mientras que (y representa elcambio en altura de la curva y = f(x) cuando x cambia en una cantidad [pic].
.

DIFERENCIAL TOTAL

Los conceptos de incrementos y diferenciales usados en funciones de una variable, se puedengeneralizar a funciones de dos o más variables, usándose una terminología similar.

La definición de diferencial total se extiende a funciones de tres o más variables. Así, si [pic]entonces [pic] yla diferencial total de w es

[pic]

Aproximación mediante diferenciales

Para [pic]pequeños, se puede usar la aproximación [pic]. Esta relación se ilustra en la siguiente figura.

Halle ladiferencial total de:

ⓐ [pic] ⓑ [pic]

Solución

ⓐ La diferencial total [pic] para la función [pic] es

[pic] Diferencial total [pic]

[pic]

ⓑ La diferencial total[pic] de la función [pic] es

[pic] Diferencial total [pic]

[pic]

Utilizar la diferencial total [pic] para aproximar el cambio de [pic] cuando [pic]se desplaza del punto [pic] al punto...
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