Diferenciales

DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

1. Un tanque tiene la forma de un cono invertido, teniendo una altura de 16 ft y un radio base de 4ft. El agua fluye al tanque a razón de 2ft3/min. ¿Qué tan rápido crece el nivel cuando el agua tiene 5ft de profundidad?

2. Dos coches, uno se dirige hacia el este a razón de de 37.5 mi/h y el otro hacia el sur a razón de 30 mi/h, están viajando hacia laintersección de dos carreteras. ¿A qué razón se aproximan los dos coches, uno con respecto al otro, en el instante en el que el primer carro está a 400 ft y el segundo a 300 ft de la intersección?

3. Una cometa está volando a una altura de 40 ft. El muchacho que la está volando, se mueve horizontalmente a razón de 3 ft/seg. Si la cuerda está tensa, ¿a qué razón se afloja la cuerda cuando lalongitud de la cuerda suelta es de 50 ft?

4. Un balón esférico está siendo inflado de tal forma que su volumen aumenta a razón de 5ft3/min. ¿En qué razón aumenta su diámetro, cuándo el diámetro es de 12 ft?

5. Una bola de nieve esférica se forma de tal manera que su volumen aumenta a razón de 8ft3/min. Encontrar la razón a la cual aumenta el radio cuando la bola de nieve tiene 4ft dediámetro.

6. Supongamos que cuando el diámetro es de 6ft, la bola de nieve deja de crecer y se comienza a disolver a razón de ¼ ft3/min. Encontrar la razón a la cuál varía el radio, cuando el radio es de 2ft.

7. En una pila cónica se está dejando caer arena a razón de 10ft3/min. Si la altura de la pila es siempre el doble del radio de la base, ¿en qué razón aumenta la altura cuando la pilatiene 8 ft de altura?

8. Una lámpara, está colgada a 15ft sobre el piso. Si un hombre de 6ft de altura camina alejándose de la luz a razón de 5ft/seg. ¿Con qué rapidez se alarga su sombra?

9. Un hombre de 6ft de altura camina hacia un edificio a razón de 5ft/seg. Si existe una luz sobre el piso a 50ft del edificio, ¿con qué rapidez se acorta la sombra del hombre sobre el edificiocuando él está a 30ft del edificio?

10. Un depósito de agua de forma de cono invertido está siendo vaciado a razón de 6ft3/min. La altura del cono es de 24ft y el radio de la base es de 12ft. Encontrar la rapidez con que baja el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidad de 10ft.

11. La lay de Boyle para la expansión de un gas es PV=C donde P es el numero de libras por unidadcuadrada de presión, V es el número de unidades cúbicas del volumen del gas, y C es una constante. En cierto instante, la presión es de 3000lb/ft2, el volumen es de 5ft y el volumen crece a razón de 3ft3/min. Encontrar la razón de cambio de la presión en ese momento.

12. Un automóvil que viaja a razón de 30ft/seg se acerca a una intersección. Cuando el automóvil está a 120ft de la intersección, uncamión que viaja a razón de 40ft/seg cruza la intersección. El automóvil y el camión están en carreteras que forman ángulos rectos una con respecto a la otra. ¿Con qué rapidez se separan el automóvil y el camión 2 segundos después que el camión pasó por la intersección?

13. Un hombre en un muelle mueve un bote a razón de 50ft/min por medio de una soga atada al bote al nivel del agua. Si lasmanos del hombre están a 16ft sobre el nivel del agua, ¿con qué rapidez se acerca el bote al muelle cuando la cantidad de soga suelta es de 20ft?

14. Una escalera de 20ft de largo se apoya en un dique inclinado 60º respecto a la horizontal. Si la base de la escalera está siendo movida horizontalmente hacia el dique a razón de 1ft/seg, ¿a qué rapidez se mueve la parte superior de la escaleracuando la base está a 4ft del dique?

15. En un depósito de forma cónica está siendo vertida agua a razón de 8ft3/min. El cono tiene 20ft de profundidad y 10ft de diámetro en su parte superior. Si tiene una fuga en la base y el nivel del agua está subiendo a razón de 1ft/min cuando el agua tiene 16 ft de profundidad. ¿Con qué rapidez se está fugando el agua?

16. Dos pequeños aeroplanos...