Dinamica Del Robot
Automatización y Robótica Industriales
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Velocidades y Aceleraciones
Transformación de velocidades
A A A VP = AVpORG + B R BVP + A ΩB ×B R BP
A A ΩC = A ΩB + B R B ΩC
BΩ C
{C}
BP A ΩB
Transformación de Aceleraciones
A A A & & & VP = AVpORG + B R BVP +2 A ΩB ×B R BVP + A & A + A ΩB ×B R BP+ A ΩB ×( A ΩB ×B R BP)
{B} {A}
AP
ZA
ZB
AP ORG
xBYB
A
A & & A & ΩC = A ΩB + B R B ΩC + A ΩB ×B R B ΩC
xA
YA
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Tensor de Inercia
Descripción de la distribución de masas de un objeto respecto a un marco de referencia dv
AP
I xx − I xy − I xz A I = − I xy I yy − I yz − I xz − I yz I zz
I xx = I yy = I zz =
ZA
{A}
xA
xy ρ dv xz ρ dv yz ρ dv
YA
∫∫∫ ( y
V
2
+ z ) ρ dv
2
I xy = I xz = Iyz
∫∫∫
V
∫∫∫ ( x
V
2
+ z ) ρ dv
2
∫∫∫
V
∫∫∫ ( x
V
2
+ y 2 ) ρ dv
=
∫∫∫
V
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Formulaciones del modelo dinámico de un Robot
■ Formulación de Lagrange-Euler – Poca eficiencia computacional: O(n4) (n=nº GDL) – Ecuaciones finales bien estructuradas ■ Formulación de Newton-Euler – Procedimiento recursivo – Basado en operaciones vectoriales – Ecuaciones pocoestructuradas – Mayor eficiencia computacional: O(n) ■ Otras formulaciones 4
Formulación de Newton-Euler
■ Ecuación de Newton ■ Ecuación de Euler
& F = mvC & N =CIω + ω×C Iω
F
N
■ Procedimiento Iterativo 1) Hacia fuera calculando velocidades y aceleraciones lineales y angulares 2) Hacia dentro calculando pares y esfuerzos en las articulaciones 5
1.- Recursión hacia fuera
VelAngular Acel. Angular
i
& ˆ ωi =i−1iRi−1ωi−1 + θi i Zi
i= 0, 1, 2,... ,n-1
Articulación Rotación
i
& ˆ & ˆ & & ωi =i−1iRi−1ωi−1 +i−1iRi−1ωi−1 ×θi i Zi + θ&i i Zi
& & ωi =i−1iRi−1ωi−1
Articulación Prismática
i
i
Acel. Lineal
(Origen Sist. Referencia)
& & & vi =i −1iR [i −1ωi −1×i −1Pi +i −1ωi −1 ×(i −1ωi −1×i −1Pi )+i −1vi −1 ]
Articulación Rotación ArticulaciónPrismática
i
i
& & & vi =i−1iR [i−1ωi −1×i−1Pi +i−1ωi−1 ×(i−1ωi−1×i−1Pi )+i−1vi−1 ] + & ˆ && ˆ +2i ω × d i Z + d i Z
i i i i i
Acel. Lineal
(Centro de Masas)
i
& & & vCi = ωi × PCi + ωi ×( ωi × PCi )+ vi
i i i i i i
ωi
2.- Recursión hacia dentro
fi = Fuerza ejercida por el enlace i -1 en el i ni = Par ejercido por el enlace i -1 en el i
Fuerzas Pares
i
i= n, n-1, ... 1
ifi = R fi +1 + Fi
i i +1 i
i +1
& Fi = mi i vCi
i
ni =iNi +i +1iRi +1ni +1 +iPCi ×i Fi +iPi +1×i +1i Ri +1fi +1
i
& Ni =Ci Ii iωi +iωi ×Ci Ii iωi
Fuerzas/Pares Requeridos
ˆ τ i =i niT i Zi ˆ τ i =ifiT i Zi
Articulación Rotación Articulación Prismática
Fi n i Ni
fi
ni−1
fi−1
Formulación de Lagrange
Formulación de ecuaciones en términos energéticos ■Energía cinética del enlace i
1 1 i T Ci i T ki = mi vCi vCi + ωi Ii ωi 2 2
vC i
n i =1
ωi
Total k = ∑ ki
■ Energía potencial del enlace i
ui = −mi 0 g T 0 PCi + uref
Total u = ∑ui
i =1
n
Ecuaciones de Movimiento
d ∂k ∂k ∂u τ= & − ∂θ + ∂θ dt ∂θ
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Formulación de Lagrange: Estructura de las ecuaciones
Las ecuaciones pueden expresarse
d ∂k ∂k ∂u τ= − + & dt ∂θ ∂θ ∂θ& & & τ = M (θ )θ& + V (θ ,θ ) + G(θ ) + F (θ )
τ = Fuerzas/Pa res generalizados en las articulaci ones
& θ , θ&, θ& = Coordenada s generalizadas y derivadas M (θ ) = Matriz de Inercia (Simétrica ) & V(θ , θ) = Vector de términos de Coriolis - Centrifugo s G(θ ) = Vector de términos gravitator ios & F (θ ) = Vector de fuerzas de rozamiento
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Ecuaciones dinámicas: Ejemplo
Ejemplo paraun robot manipulador Industrial: Robot RM10
Para un robot “Real” las ecuaciones dinámicas pueden ser considerablemente complejas
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Modelo Dinámico Directo
&& & & τ = D ( q )q + C ( q, q )q + G ( q )
Ecuaciones de la forma
Ecuaciones como función de 26 constantes:
Modelo Dinámico Directo
Más constantes:
Modelo Dinámico Directo
Más constantes:
Modelo Dinámico Directo...
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